Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Z Wikipedii

Twierdzenie Bolzano–Weierstrassa jest jednym z podstawowych wyników w analizie matematycznej. Mówi ono, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg zbieżny. We współczesnym języku oznacza to, że domknięte i ograniczone podzbiory prostej rzeczywistej są ciągowo zwarte.

Twierdzenie to było najpierw udowodnione przez czeskiego matematyka Bernarda Bolzano, ale jego praca pozostała niezauważona. Twierdzenie było później ponownie odkryte i udowodnione przez niemieckiego matematyka Karla Weierstrassa.

Spis treści

1 Twierdzenie
- 1.1 Sformułowanie
- 1.2 Dowód
2 Wniosek: twierdzenie Weierstrassa
3 Wnioski
4 Zobacz też

[edytuj] Twierdzenie

[edytuj] Sformułowanie

Załóżmy, że $(c_n)_{n=0}^\infty$ jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych (a więc dla pewnych $a < b$ mamy że $a < c n < b$ dla każdego $n$ ). Wówczas można wybrać rosnący ciąg indeksów $n_0,n_1,n_2,n_3,\ldots$ tak, że ciąg $\big(c_{n_k}\big)_{k=0}^\infty$ jest zbieżny.

[edytuj] Dowód

Załóżmy, że $(c_n)_{n=0}^\infty$ jest ciągiem liczb rzeczywistych, $a < b$ oraz $a < c n < b$ dla wszystkich $n$ . Indukcyjnie wybieramy liczby $a_k,b_k\in [a,b]$ oraz liczby naturalne $n k$ , tak że dla każdego $k$ mamy

$n 0 = 0$ , $a 0 = a$ , $b 0 = b$ ,
$n k < n k + 1$ , $a_k\leq a_{k+1}\leq c_{n_{k+1}}\leq b_{k+1}\leq b_k$ ,
$b_k-a_k=(b-a)\cdot 2^{-k}$ ,
zbiór $\{n:c_n\in [a_k,b_k]\}$ jest nieskończony.

Pierwszy warunek powyżej definiuje $n 0, a 0, b 0$ . Przypuśćmy że wybraliśmy już $n k, a k, b k$ tak, że wymagania sformułowane powyżej są spełnione. Niech $d=\frac{a_k+b_k}{2}$ . Jeśli zbiór $\{n:c_n\in [a_k,d]\}$ jest nieskończony, to połóżmy $a k + 1 = a k$ , $b k + 1 = d$ i wybierzmy $n k + 1 > n k$ tak że $a_{k+1}\leq c_{n_{k+1}}\leq b_{k+1}$ . Jeśli zbiór $\{n:c_n\in [a_k,d]\}$ jest skończony, to wtedy zbiór $\{n:c_n\in [d,b_k]\}$ musi być nieskończony. W tym wypadku deklarujemy że $a k + 1 = d$ , $b k + 1 = b k$ i wybieramy $n k + 1 > n k$ tak że $a_{k+1}\leq c_{n_{k+1}}\leq b_{k+1}$ .

Po przeprowadzeniu powyższej konstrukcji zauważamy że ciąg $\big(c_{n_k}\big)_{k=0}^\infty$ jest ciągiem Cauchy'ego, a więc wobec zupełności prostej rzeczywistej jest on zbieżny.

[edytuj] Wniosek: twierdzenie Weierstrassa

Prawie bezpośrednio z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wynika następujące twierdzenie, nazywane często twierdzeniem Weierstrassa.

[edytuj] Sformułowanie

Jeśli $f: [a,b] \to \mathbb R$ jest funkcją ciągłą, to jej obraz jest zbiorem ograniczonym. Ponadto funkcja $f$ osiąga swoje kresy, tzn. dla pewnych liczb $c,d\in [a,b]$ mamy

$\forall x \in [a,b]\quad f(d) \le f(x) \le f(c)$ .

[edytuj] Dowód

Aby udowodnić ograniczoność obrazu przeprowadźmy rozumowanie nie wprost: jeżeli obraz funkcji $f$ nie ma ograniczenia górnego, to możemy znaleźć ciąg $(c_n)_{n=0}^\infty$ taki, że $f(c_n) \ge n$ dla każdego $n$ . Tak więc wówczas

(*) $\lim\limits_{n\to\infty} f(c_n)=\infty$ .

Niech $(c_{n_k})_{k=0}^\infty$ będzie zbieżnym podciągiem ciągu $(c_n)_{n=0}^\infty$ i niech $\lim_{k\to \infty} c_{n_k} = c$ . Ponieważ odcinek domknięty $[a, b]$ zawiera wszystkie swoje punkty skupienia, to wiemy że $c\in [a,b]$ . Następnie, z ciągłości funkcji $f$ mamy $f(c) = \lim_{k\to \infty} f(c_{n_k})$ , ale ciąg $\left(f(c_{n_k})\right)_{k=0}^\infty$ jako podciąg ciągu rozbieżnego do $\infty$ (przypomnijmy (*)) nie może być zbieżny do $f (c)$ . Uzyskana sprzeczność pokazuje że nasze przypuszczenie było fałszywe, czyli $f$ posiada ograniczenie górne.

Oznaczmy kres górny obrazu $f$ przez $d$ , mamy więc $d = \sup \left\{ f(x): x \in [a,b] \right\} < \infty$ . Możemy wtedy znaleźć taki ciąg $(c_n)_{n=0}^\infty$ , że $d - {1 \over n} \le f(c_n) \le d$ dla każdego $n$ . Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wiemy, iż istnieje podciąg zbieżny $(c_{n_k})_{k=0}^\infty$ , którego granicę $\lim_{k\to \infty} c_{n_k} \in [a,b]$ oznaczymy przez $c$ . Wtedy wykorzystując ponownie własność ciągłości funkcji $f$ otrzymujemy $f(c) = \lim_{k \to \infty} f(c_{n_k}) = d$ . A więc wartość funkcji f w punkcie $c\in [a,b]$ jest kresem górnym obrazu $f$ (a więc także $f(x)\leq f(c)$ dla wszystkich $x\in [a,b]$ ).

Analogicznie dowodzimy ograniczoności obrazu funkcji z dołu i znajdujemy taką liczbę $d\in [a,b]$ , że $f(d) =\inf \left\{f(x): x\in [a,b]\right\}$ .

[edytuj] Uwaga

Założenie zwartości (domkniętości i ograniczoności) dziedziny funkcji (odcinka $[a, b]$ ) jest istotne. Na przykład funkcja $f: (0,1]\ni x \mapsto 1/x \in\mathbb{R}$ jest ciągła ale nie jest ograniczona. Podobnie $f: \mathbb{R}\ni x \mapsto e^x\in \mathbb{R}$ nie jest ograniczona, mimo, że dziedzina - cała prosta - jest domknięta.

[edytuj] Wnioski

Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wynika twierdzenie Heinego-Borela: podzbiór prostej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest on domknięty i ograniczony.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Ciągi • Twierdzenia matematyczne

We provide Linux to the World

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Twierdzenie

[edytuj] Sformułowanie

[edytuj] Dowód

[edytuj] Wniosek: twierdzenie Weierstrassa

[edytuj] Sformułowanie

[edytuj] Dowód

[edytuj] Uwaga

[edytuj] Wnioski

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach