Twierdzenie Lagrange'a (rachunek różniczkowy)

Z Wikipedii

Twierdzenie Lagrange'a – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym.

Spis treści 1 Twierdzenie 2 Interpretacja geometryczna 3 Wartość średnia 4 Dowód 5 Zobacz też

[edytuj] Twierdzenie

Jeśli dana funkcja jest

• ciągła w przedziale [a,b],
• różniczkowalna w przedziale (a,b),

to istnieje taki punkt , że:

.

Twierdzenie nie zachodzi w przypadku wielowymiarowym.

[edytuj] Interpretacja geometryczna

Geometrycznie twierdzenie Lagrange'a oznacza, że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu do punktu , istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej między punktami i .

Na rysunku współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie wynosi f'(c). Na mocy twierdzenia Lagrange'a jest on równy:

.

[edytuj] Wartość średnia

Twierdzenie Lagrange'a zapisane w postaci

mówi, że przyrost wartości funkcji dla argumentów b i a wyraża się przez przyrost wartości zmiennej i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między a i b – stąd właśnie nazwa twierdzenia.

[edytuj] Dowód

Połóżmy:

Mamy wtedy:

oraz

A więc:

, czyli funkcja spełnia założenia twierdzenia Rolle'a, a zatem istnieje punkt taki, że , z drugiej strony mamy i stąd otrzymujemy . Dlatego też

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• twierdzenie Rolle'a,
• twierdzenie Cauchy'ego,
• twierdzenie Darboux.