Twierdzenie Salmona

Z Wikipedii

Twierdzenie Salmona - twierdzenie planimetrii: Jeśli z punktu leżącego na okręgu poprowadzono trzy cięciwy i na każdej z nich jako na średnicy zbudowano okrąg, to okręgi te przecinają się parami w trzech punktach leżących na jednej prostej.

[edytuj] Dowód

Niech $M, A, B, C\,$ oznaczają odpowiednio: dany punkt i końce danych trzech cięciw. Oczywiście leżą one na okręgu, nazwijmy go $\pi \,$ . Załóżmy, bez szkody dla ogólności, że leżą one na tym okręgu w tej właśnie kolejności.
Okręgi opisane na średnicach $MA, MB, MC \,$ oznaczmy jako $\pi_{A}, \pi_{B}, \pi_{C} \,$ .
Przecięcia par okręgów $\pi_{A}, \pi_{B} ; \pi_{B}, \pi_{C} ; \pi_{C}, \pi_{A}\,$ oznaczmy jako $P, Q, R \,$ odpowiednio.
Dokonajmy inwersji w punkcie M i dowolnym promieniu. Niech odpowiednie obiekty po tym przekształceniu mają nazwy primowane.
Z własności inwersji wynika, że:

proste zawierające $MA, MB, MC \,$ przejdą na proste
$\pi_{A}', \pi_{B}', \pi_{C}' \,$ są prostymi prostopadłymi do, odpowiednio, $MA', MB', MC' \,$ w punktach $A', B', C'\,$
$\pi' \,$ jest prostą zawierającą $A', B', C'\,$

Co więcej, punkty $P, Q, R \,$ są współiniowe wtedy i tylko wtedy, gdy $M, P', Q', R' \,$ leżą na jednym okręgu.
Zauważmy teraz, że $<P'A'M = 90^\circ = <P'B'M, \,$ zatem $P', A', B', M \,$ leżą na jednym okręgu. Analogicznie $M, A', C', R'\,$ oraz $M, B', C', Q' \,$ są współokręgowe.
Skoro trójki punktów $A', B', C'\,$ i $P', B', Q'\,$ są współliniowe, możemy zapisać, że $180^\circ - <MP'R' = <MP'A' = <MB'A' = 180^\circ - <MB'C' = <MQ'C' \,$
Zatem na czworokącie $MP'Q'R' \,$ mozna opisać okrąg, skąd wynika, że punkty $P, Q, R\,$ leżą na prostej, $cnw.\,$