Twierdzenie Stolza

Z Wikipedii

Twierdzenie Stolza (zwane czasem twierdzeniem Stolza-Cesàro) to twierdzenie mówiące o zbieżności pewnych ciągów rzeczywistych. Nazwane imionami matematyków Otto Stolza i Ernesto Cesàro.

Spis treści

1 Twierdzenie
2 Dowód
3 Zobacz też

[edytuj] Twierdzenie

Niech ciąg $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem rosnącym rozbieżnym do $\infty$ . Jeżeli ciąg $\left(\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}\right)$ jest zbieżny i $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}\right)=g$ , wówczas:

$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{b_n}{a_n}\right)=g$

[edytuj] Dowód

[edytuj] Przypadek I

Ciąg $\left(\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}\right)$ jest zbieżny.

Podstawiając w lemacie Toeplitza za $a_n, x_n\,$ odpowiednio:

$a_n-a_{n-1}\,$ oraz $\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}$ dla $n>1\,$ oraz $a_1,\frac{b_1}{a_1}$ dla $n=1\,$ otrzymujemy tezę naszego twierdzenia.

[edytuj] Przypadek II

Ciąg $\left(\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}\right)$ ma granicę niewłaściwą.

[edytuj] Przypadek II a

Załóżmy, że $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}\right)=\infty$ .

Rozważmy $n_{1},n_{2}\,$ takie, że: $a_n>0\,$ dla wszystkich $n\geq n_1$

$\bigwedge_{n\geq n_2}$ $\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}>1$

Niech $N_0=\max \{n_1,n_2\}\,$ .

Wtedy $b_n-b_{n-1}>a_n-a_{n-1}\,$ dla $n\geq N_0$ , a więc można pokazać indukcyjnie, że dla dowolnego $k\in\mathbb{N}\cup \{0\}$ prawdziwa jest nierowność:

$b_{N_0+k}>a_{N_0+k}-a_{N_0-1}+b_{N_0-1}$

Stąd ciąg $(b_n)\,$ jest rozbieżny do $\infty$ , a więc od pewnego miejsca dodatni.

Ponadto od $N_0\,$ jest on rosnący, a więc zgodnie z własnością, że jeżeli ciąg ma granicę niewłaściwą, to ciąg będący jego odwrotnością jest zbieżny i ma granicę równą zero (co łatwo pokazać) mamy:

$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}\right)=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty} \left(\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}\right)=0$

Teraz korzystając z przypadku I, który został udowodniony mamy, że:

$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=0\ \wedge \frac{a_n}{b_n}>0$

Teraz podobnie korzystając z tego, że jeśli dany jest ciąg o wyrazach dodatnich zbieżny do zera, to wtedy ciąg odwrotności jest rozbieżny do nieskończoności (co również łatwo pokazać) mamy, że:

$\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=\infty$