Ciąg (matematyka)

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
3 Ciągi liczbowe
4 Własności
- 4.1 Zbieżność
5 Specjalne ciągi
6 Zobacz też
7 Linki zewnętrzne

Ciąg – pojęcie matematyczne, intuicyjnie można je zrozumieć jako numerowaną listę elementów pewnego zbioru (przy czym elementy na liście mogą – choć nie muszą – się powtarzać).

[edytuj] Definicja

Ciągiem nazywamy dowolną funkcję $a: I \to X$ , gdzie $I \subseteq \mathbb N$ , zaś $X$ jest dowolnym zbiorem. Zwykle $I = \{1, \dots, k\}$ lub $I = \mathbb N$ . Gdy zbiór $I$ jest skończony, to ciąg również nazywamy skończonym, w przeciwnym wypadku zaś nazywa się go nieskończonym.

Argumenty funkcji $a$ nazywa się indeksami ciągu, jej wartości określa się mianem wyrazów ciągu. Dlatego też zbiór $I$ nazywa się czasami zbiorem indeksów ciągu.

Dodatkowo przyjęto, aby wyrazy $a (i)$ pisać jako $a i$ – takie wyrazy, zależne od parametru, nazywa się wyrazami ogólnymi (w przeciwieństwie do „konkretnych”; wyrazów $a 3, a 47, a 22$ ).

Ciąg oznacza się poprzez podanie w nawiasach jego wyrazu ogólnego i zbioru indeksów, np. $(a_i)_{i \in I}$ lub $(a_i)_{i=1}^\infty$ .

[edytuj] Przykłady

Prostymi przykładami ciągów są:

ciąg złożony wyłącznie z wyrazu $5$ (tzw. ciąg stały, w którym każdy wyraz jest identyczny),
ciąg kolejnych liczb naturalnych, czyli po prostu $1,\; 2,\; 3,\; \dots$ ,
ciąg Eulera.

Zdarza się, że kolejny wyraz ciągu zależy od poprzedniego lub jest zależny wprost od swego indeksu, wówczas bardzo często ciągi określa się podając kilka pierwszych jego wyrazów, szczególnie wtedy, gdy reguła rządząca tworzeniem kolejnych wyrazów nie jest skomplikowana. Można odgadnąć następny wyraz nieskończonego ciągu

$-1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \dots$ ,

którym jest liczba $4$ . Według tej samej reguły można wyznaczać dalsze wyrazy tego ciągu. W zależności od spojrzenia na problem można podać dwie reguły na obliczanie kolejnych wyrazów tego ciągu (oznaczmy go $(a_n)_{n=1}^\infty$ :

$a n = n - 2$ w zależności od indeksów,
$a n = a n - 1 + 1$ dla $n > 5$ w zależności od poprzednich wyrazów (takie ciągi nazywamy rekurencyjnymi). Aby zdefiniować cały ciąg przy tym podejściu należy podać też pierwszy wyraz tego ciągu: $a 1 = - 1$ , oczywiście powyższy wzór na $n$ -ty wyraz ciągu obowiązuje już dla $n \ge 2$ .

Innymi przykładem ciągu określonego rekurencyjnie jest ciąg Fibonacciego.

[edytuj] Ciągi liczbowe

Ciąg o wyrazach będących liczbami nazywa się ciągiem liczbowym. Jeśli istnieje potrzeba sprecyzowania zbioru liczb, np. całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, to ciąg nazywa się wówczas odpowiednio: całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym.

Ze względu na sposób generowania danego ciągu wśród ciągów liczbowych wyróżniamy:

ciągi arytmetyczne, czyli ciągi w których kolejne wyrazy różnią się o stałą wielkość,
ciągi geometyczne, czyli ciągi w których następny wyraz jest iloczynem poprzedniego przez stały współczynnik niezerowy.

[edytuj] Własności

W zależności od własności funkcji $a$ przypisującej ciągowi $(a_i)_{i \in I}$ wyrazy można wyróżnić odpowiednio:

ciągi stałe dla funkcji stałej,
ciągi monotoniczne (rosnące, malejące itp.) dla funkcji monotonicznej,
ciąg ograniczony dla funkcji ograniczonych itd.

[edytuj] Zbieżność

Zobacz więcej w osobnym artykule: granica ciągu.

Nietrywialną własnością ciągów o wartościach w przestrzeniach metrycznych czy ogólniej przestrzeniach topologicznych jest jego zbieżność lub rozbieżność. Pojęciem powiązanym z powyższymi jest własność Cauchy'ego ciągu.

[edytuj] Specjalne ciągi

Zobacz więcej w osobnych artykułach: ciąg funkcyjny, szereg (matematyka).

Zgodnie z definicją ciągu wyrazy mogą być elementami dowolnego zbioru, a więc nie tylko zbiorów liczbowych. Jednym z najbardziej rozpowszechnionych zbiorów jest przestrzeń funkcyjna, czyli gdy wyrazami ciągu są funkcje, wtedy taki ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym.

Innym bardzo rozpowszechnionym rodzajem ciągów są tzw. szeregi. Ciąg (nieskończony), którego kolejnymi elementami są sumy początkowych wyrazów innego ciągu (nieskończonego), nazywamy szeregiem (nieskończonym). Oczywiście dla odpowiednio ciągów liczbowych i ciągów funkcyjnych istnieją szeregi liczbowe i szeregi funkcyjne.