Twierdzenie Sturma

Z Wikipedii

W matematyce twierdzenie Sturma pozwala ustalić liczbę miejsc zerowych dowolnego wielomianu rzeczywistego w danym przedziale.

Spis treści 1 Ciągi Sturma 2 Twierdzenie Sturma 3 Zastosowania 4 Zobacz też:

[edytuj] Ciągi Sturma

Wpierw należy skonstruować ciąg Sturma:

Jest to ciąg reszt uzyskiwanych podczas dzielenia w algorytmie Euklidesa dla wielomianów X oraz jego pochodnej X₁(x) = X' branych ze znakiem przeciwnym:

gdzie rem(X,Y) oznacza resztę z dzielenia wielomianu X przez Y.

Każdy wielomian X_i ma stopień co najmniej równy jeden, dlatego też algorytm musi się zakończyć w skończonej liczbie kroków.

X_r wówczas jest równe NWD wielomianu X oraz jego pochodnej. Jeżeli wielomian ten ma tylko pojedyncze pierwiastki, będzie to stała.

Ciągiem Sturma jest wówczas ciąg

.

[edytuj] Twierdzenie Sturma

Niech w(ξ) będzie liczbą zmian znaku (nie liczy się zer) w ciągu Sturma:

Twierdzenie Sturma mówi, że dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych a < b które nie są pierwiastkami wielomianu X liczba pierwiastków wielomianu w przedziale [a,b] wynosi w(a) − w(b).

[edytuj] Zastosowania

Twierdzenie Sturma można wykorzystać do wyznaczenia liczby rzeczywistych pierwiastków dowolnego wielomianu. Wystarczy znaleźć taką liczbę M, że wszystkie pierwiastki wielomianu X leżą w przedziale [ − M,M]; za taką liczbę można wziąć np.

.

[edytuj] Zobacz też:

• Jacques Charles François Sturm

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.