Układ współrzędnych sferycznych

Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić: ujednolicić oznaczenia współrzędnych w dwóch częściach artykułu.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdziesz na stronie dyskusji tego artykułu.
Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.

Sferyczny układ współrzędnych – układ współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Istnieje kilka systemów współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej które mogą być uważane za naturalne rozszerzenie układu biegunowego na płaszczyźnie na przestrzeń trójwymiarową. Do takich systemów zalicza się układ współrzędnych walcowych oraz dwa układy współrzędnych sferycznych, roboczo tu nazwanych "matematycznym" oraz "geograficznym".

W obydwu tych układach istnieją współrzędne odpowiadające odległości od środka pewnej sfery i znanej z geografii długości geograficznej. Różnią się jednak trzecią współrzędną. W systemie "geograficznym" jest ona mierzona od równika (szerokość geograficzna). W systemie "matematycznym" jest ona liczona od bieguna.

W matematycznej literaturze polskojęzycznej występują obydwa typy współrzędnych sferycznych. Na przykład, typ "geograficzny" jest przedstawiony w książkach Lei^[1] oraz Encyklopedii szkolnej^[2], a typ "matematyczny" jest wprowadzany przez Borsuka^[3], Starka^[4] czy Bronsztejna i Siemiendiajewa^[5]. W geografii (współrzędne geograficzne) i astronomii (współrzędne astronomiczne) używa się zawsze współrzędnych opisanych poniżej jako "geograficzne".

Spis treści

1 Rys historyczny
2 System "geograficzny"
- 2.1 Współrzędne
- 2.2 Przejście do układu kartezjańskiego
3 System "matematyczny"
4 Zobacz też
5 Przypisy

[edytuj] Rys historyczny

Sferyczny system współrzędnych został przedstawiony i rozwinięty w literaturze matematycznej dużo później niż system biegunowy na płaszczyźnie. Zwyczajowo matematycy uznają iż system ten był wprowadzony przez Jeana Baptista Clairauta, ale Julian Coolidge^[6] ocenia jego wkład jako nieistotny.

Leonhard Euler używał tego systemu w 1748^[7], a w 1771^[8] podał wzory na przejście do kartezjańskiego układu współrzędnych. Podobnego systemu (i oznaczeń) użył Joseph Louis Lagrange w 1773^[9].

[edytuj] System "geograficzny"

[edytuj] Współrzędne

Współrzędne punktu w "geograficznym" systemie współrzędnych sferycznych

Dowolnemu punktowi P przypisujemy jego współrzędne sferyczne:

promień wodzący $r\ge 0$ czyli odległość punktu P od początku układu O
długość geograficzną $0\le\phi<2\pi$ czyli miarę kąta między rzutem prostokątnym wektora $\overrightarrow{OP}$ na płaszczyznę OXY a osią OX
szerokość geograficzną $-\frac{1}{2}\pi\le\theta\le\frac{1}{2}\pi$ czyli miarę kąta między wektorem $\overrightarrow{OP}$ a osią OZ. Przyjmujemy, że miara kąta jest dodatnia, jeśli rzut wektora $\overrightarrow{OP}$ na oś OZ jest z nią zorientowany zgodnie i ujemna, gdy rzut ten jest zorientowany przeciwnie do osi.

Dla uniknięcia wieloznaczności przyjmuje się, że dla punktów znajdujących się na osi OZ kąt φ ma miarę 0 i podobnie, wszystkie współrzędne sferyczne punktu 0 są równe 0.

[edytuj] Przejście do układu kartezjańskiego

Konwersję z układu sferycznego na współrzędne kartezjańskie $x, y, z$ punktu P określają wzory:

$x=x(r,\theta,\phi)=r \cos\theta \cos\phi\,$

$y=y(r,\theta,\phi)=r \cos\theta \sin\phi\,$

$z=z(r,\theta,\phi)=r \sin\theta\,$

Jakobian przejścia wynosi

$\frac{D(x,y,z)}{D(r,\theta,\phi)}=\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \end{array}\right|=$ $\left|\begin{array}{ccc} \cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\cos\phi & -r\cos\theta\sin\phi\\ \cos\theta\sin\phi & -r\sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\cos\phi\\ \sin\theta& r\cos\theta & 0 \end{array}\right|=-r^2\cos\theta\;$

Konwersję z układu kartezjańskiego na sferyczny zadają wzory:

$r =\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

$\phi=\mathrm{arctg}\frac{y}{x }$

$\theta=\arcsin\frac{z}{r}$

[edytuj] System "matematyczny"

[edytuj] Współrzędne

Wspólrzędne punktu w "matematycznym" systemie współrzędnych sferycznych

Dowolnemu punktowi P przypisujemy jego współrzędne sferyczne:

promień wodzący $\rho\ge 0$ czyli odległość punktu P od początku układu O,
długość azymutalna $0\le\theta<2\pi$ (Bronsztejn podaje $-\pi<\theta\le\pi$ ) czyli miarę kąta między rzutem prostokątnym wektora $\overrightarrow{OP}$ na płaszczyznę OXY a dodatnią półosią OX.
odległość zenitalna $0\leq\phi\leq\pi$ czyli miarę kąta między wektorem $\overrightarrow{OP}$ a dodatnią półosią OZ,

Dla uniknięcia wieloznaczności przyjmuje się, że dla punktów znajdujących się na osi OZ kąt $θ$ ma miarę 0 i podobnie, wszystkie współrzędne sferyczne punktu O są równe 0.

[edytuj] Przejście do układu kartezjańskiego

Konwersję z układu sferycznego na współrzędne kartezjańskie $x, y, z$ punktu P określają wzory:

$x=x(\rho,\phi,\theta)=r\, \sin\phi \, \cos\theta$ ,

$y=y(\rho,\phi,\theta)=r\, \sin\phi \, \sin\theta$ ,

$z=z(\rho,\phi,\theta)=r\, \cos\phi$ .

Jakobian przejścia wynosi

$\frac{D(x,y,z)}{D(r,\phi,\theta)}=\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial \theta} \end{array}\right|=$ $\left|\begin{array}{ccc} \sin\phi\cos\theta & r\cos\phi\cos\theta & -r\sin\phi\sin\theta\\ \sin\phi\sin\theta & r\cos\phi\sin\theta & r\sin\phi\cos\theta\\ \cos\phi& -r\sin\phi & 0 \end{array}\right|=r^2\sin\phi\;$

Konwersja z układu kartezjańskiego na sferyczny jest zadana przez:

$r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ ,

$\phi=\arctan \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} \right)=\arccos \left( {\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} \right)$ ,

$\theta=\arctan \left( {\frac{y}{x}} \right)$ .

(Funkcja $arctan$ powinna być tak dobrana, aby wynik był w odpowiedniej ćwiartce $y / x$ .)

[edytuj] Oznaczenia współrzędnych

Nie jest ustalony jeden system oznaczeń współrzędnych. Przykłady różnych podejść (według Mathworld) podane są poniżej (kolejno promień wodzący, długość azymutalna i odległość zenitalna):

$r,φ,θ$ – Bronsztejn, Siemiediajew 1965, str. 280
$r,θ,φ$ – Korn and Korn, 1968, str. 60
$r,φ,θ$ – Misner et al. 1973, str. 205
$r,φ,θ$ – Arfken 1985, str. 102
$r,θ,φ$ – Zwillinger 1985, str. 297-298
$ρ,θ,φ$ – Beyer 1987, str. 212
$r,ψ,θ$ – Moon and Spencer 1988, str. 24
$r,θ,φ$ – Mathworld 2005

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

↑ Leja, Franciszek: Geometria analityczna. Wydanie 6. Państ. Wydaw. Naukowe, Warszawa 1976. Strona 45
↑ Encyklopedia szkolna – Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1990, str 299, ISBN 83-02-02551-8
↑ Borsuk, Karol: Geometria analityczna wielowymiarowa. "Biblioteka Matematyczna", tom 23, wydanie 2. Państ. Wydaw. Naukowe, Warszawa 1964. Strona 17.
↑ Stark, Marceli: Geometria analityczna. "Monografie Matematyczne", tom 26. Warszawa-Wrocław 1951. Strona 68. Plik pdf z Rozdziałem 2.
↑ Bronsztejn, Igor N.; Siemiendiajew, Konstantin A.: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976. Strona 280
↑ Coolidge, Julian: The Origin of Polar Coordinates. "The American Mathematical Monthly" 59 (1952); s. 83: this apparently is for what he might have done, not what he actually accomplished which seems to have been nothing at all.
↑ Euler, Leonhard: Introductio in Analysin infinitorum, tom II, 1748.
↑ Euler, Leonhard: De solidis quorum superficies in planum explicare licet. "Novi Commentarii Petropolitanae", 16, 1771, strona 11
↑ Lagrange, Joseph Louis: Sur l'attraction des spheroides elliptiques. "Memoires de l'Academie de Berlin" 1773.

Kategorie: Artykuły wymagające dopracowania • Układy współrzędnych

We provide Linux to the World

Układ współrzędnych sferycznych

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Rys historyczny

[edytuj] System "geograficzny"

[edytuj] Współrzędne

[edytuj] Przejście do układu kartezjańskiego

[edytuj] System "matematyczny"

[edytuj] Współrzędne

[edytuj] Przejście do układu kartezjańskiego

[edytuj] Oznaczenia współrzędnych

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach