Własność skończonych przekrojów

Z Wikipedii

Własność skończonych przekrojów to własność rodzin zbiorów rozważana i używana głównie w topologii i teorii mnogości.

[edytuj] Definicja

Mówimy, że rodzina zbiorów ma własność skończonych przekrojów jeśli przekrój dowolnej skończonej podrodziny jest niepusty. Innymi słowy, ma własność skończonych przekrojów jeśli dla dowolnych , , mamy że .

Często zamiast mówić że ma własność skończonych przekrojów stwierdza się, że ma fip, używając skrótu na angielską nazwę finite intersection property.

[edytuj] Przykłady, własności, zastosowanie

• Następujące rodziny zbiorów mają własność skończonych przekrojów:

(i) gdzie są zbiorami niepustymi,

(ii) ,

(iii) rodzina tych podzbiorów zbioru liczb naturalnych które mają dopełnienie skończone,

(iv) rodzina tych borelowskich podzbiorów odcinka [0,1] które mają miarę Lebesgue'a 1.

• Jeśli jest rodziną podzbiorów zbioru X z własnością skończonych przekrojów, to zbiór

dla pewnych ,

jest filtrem podzbiorów X. Ponadto, istnieje filtr maksymalny (ultrafiltr) podzbiorów X zawierający . (To ostatnie stwierdzenie wymaga pewnej formy AC.)

• Przypuśćmy, że (X,τ) jest przestrzenią topologiczną. Wówczas

(a) X jest zwarta wtedy i tylko wtedy gdy każda rodzina domkniętych podzbiorów X która ma własność skończonych przekrojów ma też niepusty przekrój,

(b) X jest przeliczalnie zwarta wtedy i tylko wtedy gdy każda przeliczalna rodzina domkniętych podzbiorów X która ma własność skończonych przekrojów ma też niepusty przekrój.

[edytuj] Zobacz też

• Przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• filtr,
• przestrzeń zwarta,
• przestrzeń przeliczalnie zwarta.