Miara Lebesgue'a

Z Wikipedii

Spis treści

1 Intuicja i cel
2 Miara zewnętrzna Lebesgue'a
3 Zbiory miary zero
4 Miara Lebesgue'a
5 Zbiory mierzalne
6 Zbiory niemierzalne
7 Związek z miarą Jordana
8 Bibliografia
9 Zobacz też

Miara Lebesgue'a (czyt. "Lebega") – miara będącą uogólnieniem pojęcia objętości, pola powierzchni, czy długości podzbiorów przestrzeni euklidesowej (w zależności od jej wymiaru).

Miara Lebesgue'a jest jednym z podstawowych pojęć współczesnej analizy rzeczywistej, a także podstawą definicji całki Lebesgue'a, narzędzia współczesnej matematyki. Jej autor, matematyk francuski Henri Lebesgue, wprowadził pojęcie miary właśnie ze względu na potrzeby tej definicji.

[edytuj] Intuicja i cel

Rozważmy zbiór liczb rzeczywistych. Chcąc w „naturalny” sposób uogólnić pojęcie długości musimy cały czas mieć na uwadze to, że nasze uogólnienie nie powinno kłócić się z intuicją podpowiadającą nam, iż długość przedziału $[a, b]$ jest równa odległości pomiędzy jego końcami, czyli po prostu $b - a$ . Warto dodać, że długość nie powinna przyjmować wartości ujemnych. Dodatkowo „długość” sumy przedziałów rozłącznych powinna być równa sumie ich długości.

Przeprowadzamy więc zarazem dwie konstrukcje: określiliśmy miarę (określiliśmy czym jest długość na prostej), ale co ważniejsze, wskazaliśmy rodzinę zbiorów dla których będzie ona określona – są to tzw. zbiory mierzalne. Wydaje się być to niepotrzebne, jednak okazuje się, że nie dla wszystkich zbiorów miarę da się określić! (tzw. zbiory niemierzalne w danej mierze).

Początkowo w definicji miary wymagano, aby miara zbioru będącego sumą skończenie wielu zbiorów rozłącznych była sumą ich miar, zgodnie z przedstawioną wyżej intuicją. Miarę taką dość łatwo skonstruować i to zarówno dla podzbiorów prostej, jak i podzbiorów płaszczyzny – nosi ona nazwę miary Jordana i właśnie nią posługujemy się w „szkolnej” geometrii. Pozwoliła ona również określić całkę Riemanna.

Niestety, miara Jordana jest niewystarczająca dla wielu ważnych zastosowań. Trudności z badaniem szeregów Fouriera wymusiły przyjęcie innej definicji miary. Okazało się, że istotny jest warunek, by miara zbioru będącego sumą przeliczalnie wielu zbiorów rozłącznych była równa sumie miar tych zbiorów. Ten decydujący krok uczynił matematyk francuski Henri Lebesgue, który pierwszy dodał powyższy warunek do definicji powyższej miary. Od jego nazwiska została ona więc nazwana miarą Lebesgue'a.

Mimo wszystko okazuje się, że tak jak dla miary Jordana, tak również dla miary Lebesgue'a znajdują się „patologiczne” zbiory, których miary określić się nie da. Są to zbiory niemierzalne w sensie Lebesgue'a.

Naszą konstrukcję miary Lebesgue'a oprzemy na pomyśle Constantina Carathéodory'ego dotyczącego miary zewnętrznej. Rozważamy wszystkie zbiory, w których nasz zbiór się zawiera, ale których długości obliczyć umiemy. Z tej rodziny wybieramy zbiory o coraz mniejszych długościach (lub o takiej samej długości, jeśli zbiór o mniejszej długości nie istnieje). Długości zbiorów z tego ciągu tworzą nieskończony ciąg zstępujący i ograniczony z dołu (przez zero – długość nie może być ujemna). Istnieje więc granica tego ciągu – ona to będzie miarą zewnętrzną szukanego zbioru, czyli poszukiwaną objętością. Niestety nie otrzymamy w ten sposób miary: na ogół suma miar zewnętrznych dwóch zbiorów rozłącznych nie musi być równa mierze zewnętrznej sumy tych zbiorów. Ograniczymy się jednak do pewnej rodziny zbiorów, tworzącej σ-ciało, na których miara zewnętrzna zachowuje się porządnie. Okazuje się wtedy, iż miara zewnętrzna na tym zbiorze staje się miarą.

Procedurę tę można przeprowadzić na kilka sposobów. Można na przykład udowodnić, że odpowiednim będzie σ-ciało zbiorów borelowskich. Aby zwiększyć ilość mierzalnych zbiorów możemy ją uzupełnić o wszystkie zbiory zawierające się w zbiorach borelowskich, których miara wynosi zero (tzw. uzupełnienie miary).

Tak rozszerzona rodzina zbiorów tworzy już σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Podobną konstrukcję można przeprowadzić w dowolnej przestrzeni euklidesowej.

[edytuj] Miara zewnętrzna Lebesgue'a

Zobacz więcej w osobnym artykule: miara zewnętrzna.

Niech $A\subseteq {\mathbb R}^k$ . Powiemy, że rodzina $\{P^{j}\colon j \in {\mathbb N}\}$ podzbiorów ${\mathbb R}^k$ stanowi pokrycie zbioru $A$ jeśli $A \subseteq \bigcup_{j \in {\mathbb N}} P^{j}$ . Definiujemy $k$ -wymiarową miarę zewnętrzną Lebesgue'a zbioru $A \subseteq \mathbb R^k$ jako kres dolny zbioru

$\Big\{\sum_{n \in {\mathbb N}} |P^{n}|: \{P^{j}\colon j \in {\mathbb N}\}$ jest pokryciem zbioru

A

przedziałami

k

-wymiarowymi $\Big\}$ .

Miarę zewnętrzną zbioru A oznaczamy przez $\lambda_k^\star(A)$ lub po prostu $\lambda^\star(A)$ .

Dowodzi się, iż $\lambda_k^\star: \mathbb R^k \to [0, \infty]$ jest miarą zewnętrzną (przeliczalna podaddytywność) oraz że miara zewnętrzna dowolnego przedziału $k$ -wymiarowego jest równa jego objętości.

[edytuj] Zbiory miary zero

Zobacz więcej w osobnym artykule: zbiór miary zero.

Podzbiory $\mathbb R^k$ , których miara zewnętrzna Lebesgue'a równa jest zeru, nazywać będziemy zbiorami miary zero. Tak więc zbiór $A \subseteq \mathbb R^k$ jest miary zero wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $\varepsilon > 0$ zbiór $A$ daje się pokryć przeliczalną rodziną przedziałów $k$ -wymiarowych, których suma objętości jest mniejsza od $\varepsilon$ .

Poniżej znajduje się kilka ważnych przykładów zbiorów miary zero:

zbiór pusty (z definicji),
przeliczalne podzbiory $\mathbb R^k$ (przedziały jednopunktowe są miary zero),
przedział zdegenerowany w $\mathbb R^k$ (z definicji objętości przedziału).
produkt k podzbiorów $\mathbb R$ , z których przynajmniej jeden jest miary zero,
zbiór Cantora.

[edytuj] Miara Lebesgue'a

Jak już stwierdziliśmy, miara zewnętrzna Lebesgue'a $\lambda^\star$ nie jest miarą, gdyż nie jest nawet skończenie addytywną funkcją zbioru. Zawęzimy więc $\lambda^\star$ do pewnego σ-ciała w $\mathbb R^k$ obejmującego w szczególności przedziały wielowymiarowe.

Przez $\mathfrak L_k$ oznaczmy najmniejsze σ-ciało w $\mathbb R^k$ zawierające rodzinę wszystkich przedziałów $k$ -wymiarowych i rodzinę wszystkich podzbiorów miary zero tej przestrzeni. To σ-ciało nazywać będziemy klasą podzbiorów $\mathbb R^k$ mierzalnych w sensie Lebesgue'a, zaś zbiory do niego należące otrzymają nazwę zbiorów mierzalnych (w sensie Lebesgue'a).

Nie trudno zauważyć, że powyższa rodzina $\mathfrak L_k$ zawiera również w sobie rodzinę $\mathfrak B_k$ podzbiorów borelowskich przestrzeni $\mathbb R^k$ , zatem każdy podzbiór borelowski tej przestrzeni jest mierzalny (a więc otwarte i domknięte podzbiory $\mathbb R^k$ są mierzalne). Wynika to z faktu, iż σ-ciało $\mathfrak L_k$ zawiera rodzinę wszystkich zbiorów otwartych względem rozpatrywanej przestrzeni, a każdy zbiór otwarty w $\mathbb R^k$ jest sumą przeliczalnej rodziny przedziałów $k$ -wymiarowych (np. wszystkich przedziałów o końcach wymiernych).

Twierdzenie

Miara zewnętrzna Lebesgue'a $\lambda_k^\star$ zawężona do $\mathfrak L_k$ jest miarą i oznacza się ją przez $λ k$ (jeżeli nie wprowadza to nieścisłości, to czasami również przez $|\cdot|$ ).
Miara ta jest zupełna i σ–skończona.

Dowód: Jeżeli przez $\mathcal{C}(\lambda_k^\star)$ oznaczymy rodzinę wszystkich zbiorów $A \subset \mathbb R^k$ spełniających warunek Caratheodory'ego względem miary zewnętrznej $\lambda_k^\star$

$\lambda_k^\star(W \cup Z) = \lambda_k^\star(W) + \lambda_k^\star(Z)$ dla dowolnych zbiorów

W, Z

takich, że $W \subset A,\; Z \subset \mathbb{R}^k\setminus A$ ,

to na mocy twierdzenia Carathéodory'ego jest ona σ-ciałem w $\mathbb R^k$ oraz $\lambda_k^\star|_{\mathcal{C}(\lambda_k^\star)}$ jest miarą zupełną. Wystarczy więc udowodnić wtedy, że $\mathfrak L_k \subseteq \mathcal{C}(\lambda_k^\star)$ a w tym celu łatwo się sprawdza, że dowolny przedział $k$ -wymiarowy $P$ należy do $\mathcal{C}(\lambda_k^\star)$ .

Miara Lebesgue'a jest σ–skończona, bo np.

$\mathbb R^k = \bigcup_{n \in \mathbb N}~[-n,n]^k$ .

[edytuj] Zbiory mierzalne

Wszystkie podzbiory miary zero i borelowskie przestrzeni $\mathbb R^k$ są mierzalne.
Wszystkie zbiory analityczne są mierzalne.
Klasa zbiorów borelowskich $\mathfrak B_k$ jest znacznie węższa od klasy zbiorów mierzalnych $\mathfrak L_k$ . Jest tak, ponieważ przestrzeń $\mathbb R_k$ zawiera zbiory miary zero mocy continuum, zaś rodzina wszystkich podzbiorów takiego zbioru jest mocy wyższej niż continuum. Jak wiemy $\mathfrak B_k$ jest mocy continuum, zatem przestrzeń ta zawiera nieborelowskie podzbiory miary zero. Podobnie możemy argumentować, że istnieją zbiory miary zero, które nie są analityczne czy też koanalityczne.
Jeśli istnieje liczba nieosiągalna, to istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue'a.^[1]. Saharon Shelah^[2] wykazał, że założenie istnienia liczby nieosiągalnej jest konieczne: mierzalność wszystkich zbiorów klasy $\Sigma^1_3$ implikuje, że $ω 1$ jest liczbą nieosiagalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Kurta Gödla).

[edytuj] Zbiory niemierzalne

[edytuj] Przykłady

Przykładami niemierzalnych (w sensie Lebesgue'a) podzbiorów prostej rzeczywistej są konstruowane przy założeniu aksjomatu wyboru zbiory takie jak zbiór Vitalego, czy Bernsteina. Zbiory niemierzalne są częstym przedmiotem badań w teorii mnogości. Następujące dwa twierdzenia są przykładami pytań rozważanych w tym kontekscie:

Twierdzenie (Sierpiński, 1920) : Istnieją zbiory $X , Y \subset \mathbb R$ miary Lebesgue'a zero, takie że zbiór

$X + Y = \{x + y\colon x \in X, y \in Y\}$

jest niemierzalny.

Twierdzenie (Cichoń-Morayne-Rałowski-Ryll-Nardzewski, 2001) : Istnieje podzbiór $T$ zbioru Cantora $C\subset [0,1]$ , że zbiór $T + C$ jest niemierzalny.

[edytuj] Problem mierzalności i duże liczby kardynalne

Czy istnienie zbiorów niemierzalnych jest nieuniknione? Czy moglibyśmy „poprawić” miarę Lebesgue'a tak, aby mierzyła ona wszystkie zbiory? Stefan Banach rozważał ten problem i pytał się czy istnieje przeliczalnie addytywna miara μ mierząca wszystkie podzbiory ${\mathbb R}$ i znikająca na punktach. W 1929, Stefan Banach i Kazimierz Kuratowski wykazali, że przy założeniu hipotezy continuum taka miara nie istnieje.^[3] W 1930, Stanisław Ulam^[4] rozważał miary o wartościach w ${0,1}$ wprowadzając pojęcie liczby mierzalnej. Robert M. Solovay^[5] udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna, to pewne pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ forsuje pozytywną odpowiedź na pytanie Banacha (tzn istnienie odpowiedniej miary).

[edytuj] Problem mierzalności i AC

Bez aksjomatu wyboru nie można udowodnić istnienia zbiorów niemierzalnych i w przy pewnych alternatywnych założeniach wszystkie podzbiory prostej mogą być mierzalne. W 1962, polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus^[6] zaproponowali badania aksjomatu determinacji AD. Jan Mycielski i Stanisław Świerczkowski^[7] wykazali, że przy założeniu AD wszystkie zbiory są mierzalne w sensie Lebesgue'a.

[edytuj] Związek z miarą Jordana

Z określenia miary Lebesgue'a wynika natychmiast, że zbiory mierzalne w sensie Jordana są również mierzalne w sensie Lebesgue'a, jednak implikacja w drugą stronę nie zachodzi. Przykładem może być zbiór liczb wymiernych z przedziału $[0,1]$ , który nie jest mierzalny w sensie Jordana, lecz jest mierzalny w sensie Lebesgue'a (jego miara jest równa zeru).

[edytuj] Bibliografia

↑ Solovay, Robert M.: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. "Ann. of Math." 92 (1970) s.1-56.
↑ Shelah, Saharon: Can you take Solovay's inaccessible away? "Israel J. Math." 48 (1984), s. 1-47
↑ Banach, S.; Kuratowski, C.: Sur une généralisation du problème de la mesure. "Fundamenta Mathematicae"14 (1929), s. 127-131.
↑ Ulam, S.: Zur Maßtheorie in der allgemeinen Mengenlehre. "Fundamenta Mathematicae" 16 (1930), s. 140-150.
↑ Solovay, R.M.: Real-valued measurable cardinals. "Axiomatic set theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967)", Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1971, s. 397-428.
↑ Mycielski, Jan; Steinhaus, H.: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. "Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys." 10 (1962), s. 1-3
↑ Mycielski, Jan i Świerczkowski, Stanisław: On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. "Fundamenta Mathematicae". 54 (1964), s. 67-71.

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Miary (teoria miary)

We provide Linux to the World