Przestrzeń przeliczalnie zwarta
Z Wikipedii
 |
Zasugerowano, aby artykuł przestrzeń σ-zwarta zintegrować z tym artykułem lub sekcją. |
Przestrzenie przeliczalnie zwarte to rodzaj przestrzeni topologicznych studiowanych w topologii ogólnej. Własność bycia przestrzenią przeliczalnie zwartą jest osłabieniem zwartości.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech (X,τ) będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że X jest przestrzenią przeliczalnie zwartą jeśli z dowolnego przeliczalnego pokrycia otwartego tej przestrzeni można wybrać podpokrycie skończone.
- Inaczej mówiąc: jeżeli przestrzeń ta jest sumą pewnej przeliczalnej rodziny otwartych podzbiorów tej przestrzeni, to można wybrać spośród nich skończenie wiele zbiorów, które w sumie również dadzą całą przestrzeń.
Jak z wieloma innymi pojęciami w matematyce, nie ma uniwersalnej zgodności co do użycia terminu przestrzeń przeliczalnie zwarta. Niektórzy autorzy wymagają dodatkowo że rozważana przestrzeń jest T2 (patrz np monografia Engelkinga[1]). Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też ksiązce.
Przeliczalna zwartość była wprowadzona w 1906 przez francuskiego matematyka Maurice'a Frécheta[2].
[edytuj] Przykłady
- Każda przestrzeń zwarta jest (oczywiście) przestrzenią przeliczalnie zwartą.
- Niech zbiór ω1 wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych będzie wyposażony w topologię generowaną przez przedziały (α,β] (dla α < β < ω1) i zbiór jednopunktowy {0}. Wówczas otrzymujemy przeliczalnie zwartą przestrzeń Hausdorffa, która nie jest zwarta.
- Niech
będzie uzwarceniem Čecha-Stone'a przestrzeni liczb naturalnych 
i niech 
. Wówczas 
(z topologią podprzestrzeni) jest przeliczalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa która nie jest zwarta.
[edytuj] Własności
- Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni przeliczalnie zwartej jest przeliczalnie zwarta.
- Każda przeliczalnie zwarta przestrzeń Lindelöfa jest zwarta.
- Jeśli X jest przestrzenią przeliczalnie zwartą i
jest funkcją ciągła, to obraz f(X) funkcji f jest ograniczonym zbiorem domkniętym (a zatem funkcja f osiąga swoje kresy). - Ciągły obraz przestrzeni przeliczalnie zwartej jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.
- Jeśli X jest przestrzenią przeliczalnie zwartą i Y jest przestrzenią zwartą, to
(z topologią Tichonowa) jest przestrzenią przeliczalnie zwartą. - Produkt dwóch przestrzeni przeliczalnie zwartych nie musi być przeliczalnie zwarty.
- Przypuśćmy, że X jest przestrzenią Hausdorffa. Wówczas następujące warunki są równoważne:
- (a) X jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.
- (b) Każda przeliczalna rodzina domkniętych podzbiorów X z własnością skończonych przekrojów ma niepusty przekrój.
- (c) Każdy zstępujący ciąg
niepustych domkniętych podzbiorów X ma niepusty przekrój. - (d) Każda lokalnie skończona rodzina podzbiorów X jest skończona.
- (e) Każdy nieskończony podzbiór X ma punkt skupienia.
[edytuj] Bibliografia
- ↑ Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strona 202. ISBN 3-88538-006-4
- ↑ Maurice Fréchet; Sur quelques points du calcul fonctionnel; Rend. del Circ. Mat. di Palermo, 22 (1906), 1-74.
