Wartość skuteczna

Z Wikipedii

Wartość skuteczna (RMS z ang. Root Mean Square) jest statystyczną miarą sygnału okresowo zmiennego (najczęściej dotyczy wielkości elektrycznych prądu i napięcia).

Wartość skuteczna prądu przemiennego jest taką wartością prądu stałego, która w ciągu czasu równego okresowi prądu przemiennego spowoduje ten sam efekt cieplny, co dany sygnał prądu przemiennego (zmiennego).

Moc prądu stałego o wartości I wydzielana na oporniku o rezystancji R:

(1) $P= \ I^2 R$

Tym samym energia wydzielona w ciągu okresu przez prąd stały:

(2) $E= \ P T$

przy czym T jest długością okresu.

Moc chwilowa prądu przemiennego wynosi:

(3) $p= \ u i = i^2 R = (I(t))^2 R$

Energia w ciągu okresu T:

(4) $E=\int\limits^{t_0+T}_{t_0}{i^2\left( t\right)} R dt$

Szukamy takiej wartości prądu stałego, która wydzieliłaby tę samą energię, co prąd przemienny. Tym samym prawe strony równań (2) i (4) powinny być równe:

(5) $I^2 R T = \int\limits^{t_0+T}_{t_0}{i^2\left( t\right)} R dt$

Przekształcając to równanie dochodzi się do poszukiwanej wartości prądu stałego:

(6) $I=\sqrt{\left( i^2\left( t\right) \right)_{av}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int\limits^{t_0+T}_{t_0}{i^2\left( t\right)}dt}$

Analogicznie dochodzi się do wartości skutecznej napięcia.

Wartość skuteczna $U R M S$ sygnału $u\left( t\right)$ jest to wartość średniokwadratowa tego sygnału.

Długość przedziału całkowania T powinna być równa okresowi sygnału lub być jego całkowitą wielokrotnością.

Dla sygnału sinusoidalnego o wartości maksymalnej $I m a x$ zachodzi zależność:

(7) $I=\frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$ .

Dla innych sygnałów (np. odkształconych) ta zależność nie musi być spełniona.

Mierniki elektryczne podają zwykle wartość skuteczną sygnału (nie maksymalną!). W prostszych rozwiązaniach jest ona wyliczana z zależności (7) a poprawny wynik otrzymywany jest jedynie dla przebiegów sinusoidalnych. Mierniki lepszej klasy pozwalaja na pomiar wartości skutecznej przebiegów odkształconych. Obliczają ją z zależności (6). Mierniki takie są opisane jako "true RMS", czyli że mierzą rzeczywistą ("prawdziwą") wartość skuteczną i są dużo droższe.

Relacja wartości skutecznej sygnału do jego średniej arytmetycznej $\bar{u}$ i odchylenia standardowego $σ u$ jest następująca: