Średnia arytmetyczna

Z Wikipedii

Średnią arytmetyczną $n$ liczb $a 1, a 2,..., a n$ nazywamy liczbę : $\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}.$

Średnia arytmetyczna jest właśnie tym, co w potocznym języku określa się mianem średniej. Można ją również określić jako średnią potęgową rzędu 1.

Na przykład średnią liczb 2, 2, 5 i 7 jest

$\frac{2+2+5+7}{4}=4.$

Średnia arytmetyczna jest jedną z najbardziej intuicyjnych miar oceny populacji, stosowanych często w codziennym życiu – przykładem może być średni wzrost w grupie osób mających wzrost 174, 178, 182 i 185 cm. Średni wzrost wynosi 179,75 cm.

$\frac{174+178+182+185}{4}=179,75$

W podobny sposób można mówić o średniej płacy w danej firmie, średniej cenie pomarańczy na targowiskach w lipcu 2004 roku czy średniej ocen studenta w roku akademickim. Czasami jednak, w próbach o rozkładzie dalekim od normalnego z dużym udziałem obserwacji odstających lepszą miarą jest mediana.

Średnia arytmetyczna jest dobrą miarą położenia rozkładu i jednocześnie miarą tendencji centralnej. Jest to miara klasyczna rozkładu, czyli każda zmiana dowolnego elementu badanego zbioru pociąga za sobą zmianę wartości średniej.

Spis treści

1 Właściwości statystyczne średniej z próby
2 Przypisy
3 Bibliografia
4 Zobacz też

[edytuj] Właściwości statystyczne średniej z próby

[edytuj] Odchylenie standardowe średniej

Jeśli uśredniamy $n$ nieskorelowanych^[1] zmiennych o odchyleniach standardowych $\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n$ , to odchylenie ich średniej arytmetycznej jest równe średniej kwadratowej odchyleń tych zmiennych:

$\sigma_{\overline{X}}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\dots+\sigma_n^2}{n}}$

Jeśli zmienne są skorelowane, wówczas odchylenie średniej będzie inne, np. dla dwóch zmiennych $X 1, X 2$ :

$\sigma_{\overline{X}}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2+2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2}{2}}$

gdzie $ρ 12$ to współczynnik korelacji między nimi.

W ogólnym przypadku dla $n$ skorelowanych zmiennych:

$\sigma_{\overline{X}}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j}{n}}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\operatorname{cov}(X_i,X_j)}{n}}$

gdzie $\operatorname{cov}(X_i,X_j)$ to kowariancja i-tej i j-tej zmiennej.

[edytuj] Prawo wielkich liczb

Zobacz więcej w osobnym artykule: prawo wielkich liczb.

Jeśli $X$ jest zmienną losową o skończonej wariancji i wartości oczekiwanej $μ$ , a $x_1\dots x_n$ to prosta próba losowa z tej zmiennej, Wtedy dla dowolnie małej dodatniej liczby $\varepsilon$ :

$\lim_{n\to\infty} \operatorname{P}\left\{ \mu-\varepsilon\leq\frac{x_1+\dots+x_n}{n}\leq\mu+\varepsilon\right\} =1$

Innymi słowy średnia próbkowa dąży do wartości oczekiwanej w populacji wraz ze wzrostem liczności próby. Prawo wielkich liczb można wzmocnić na dwa sposoby, przedstawione dalej.

[edytuj] Centralne twierdzenie graniczne

Zobacz więcej w osobnym artykule: centralne twierdzenie graniczne.

Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym rozkład średniej z $n$ -elementowej próby wraz ze wzrostem $n$ coraz lepiej odpowiada rozkładowi normalnemu o wartości oczekiwanej $μ$ i odchyleniu $\sigma/\sqrt{n}$ , gdzie $μ$ oraz $σ$ to odpowiednio wartość oczekiwana oraz odchylenie standardowe w populacji z której losowana jest próba. Ściślej dla dowolnych liczb rzeczywistych $a, b$ takich, że $a < b$ :

$\operatorname{P}\left\{a\leq\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\leq b\right\}\to \operatorname{P}\{a\leq Z\leq b\}=\Phi(b)-\Phi(a)$

gdzie:

$Z$ to zmienna o standardowym rozkładzie normalnym (o wartości oczekiwanej zero i wariancji jeden)

$Φ(x)$ to dystrybuanta rozkładu normalnego N(0,1)

Twierdzenie to jest prawdziwe niezależnie od rozkładu w populacji. Właściwość ta jest wykorzystywana w wielu metodach statystycznych i estymatorach. Centralne twierdzenie graniczne jest uogólnieniem prawa wielkich liczb, gdyż opisuje zachowanie całego rozkładu średniej, podczas gdy prawo wielkich liczb opisywało jeden jego parametr (wartość oczekiwaną).

[edytuj] Właściwości średniej jako estymatora

Średnia arytmetyczna w próbie jest niezależnie od rozkładu estymatorem zgodnym i nieobciążonym wartości oczekiwanej rozkładu, z którego próba była losowana. Jeśli jest to rozkład normalny, to średnia jest również estymatorem efektywnym.

[edytuj] Ograniczenia

Średnia arytmetyczna jest podatna na obserwacje odstające (czyli w tym przypadku wartości zmiennej, losowane spoza rozkładu, którego wartość oczekiwaną chcemy estymować, np. pomyłki w danych). W przypadku, gdy jest ich dostatecznie dużo, inne średnie, takie jak mediana, czy średnia ucinana mogą dawać lepsze wyniki.

Przypisy

↑ nie muszą być niezależne, wystarcza zerowa wartość współczynnika korelacji Pearsona

[edytuj] Bibliografia

Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. Warszawa: WNT, 2001.
W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część 2. Statystyka matematyczna. Warszawa: PWN, 2006, s. 48. ISBN 83-01-14292-8.