Współczynnik korelacji Pearsona

Z Wikipedii

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona określa poziom zależności liniowej między zmiennymi losowymi. Niech $x$ i $y$ będą zmiennymi losowymi o ciągłych rozkładach. $x i, y i$ oznaczają wartości prób losowych tych zmiennych ( $i = 1,2,..., n$ ), natomiast $\overline{x}, \overline{y}$ - wartości średnie z tych prób, tj. $\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$ .

Wówczas współczynnik korelacji liniowej definiuje się następująco:

$r_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y})^2}},$

$r_{xy} \in [-1, 1].$

Innymi słowy współczynnik korelacji liniowej dwóch zmiennych jest ilorazem kowariancji i iloczynu odchyleń standardowych tych zmiennych:

$r_{XY} = \frac{\mathrm{cov}(X, Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$

Współczynnik korelacji można określić również dla zmiennych losowych o dyskretnych rozkładach. Trzymając się poprzedniej notacji dla średnich wartości zmiennych, dostajemy postać

$r_{XY} = \frac{\mathrm{cov}(X, Y)}{\sigma_X\sigma_Y} = \frac{\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mP(X=x_i,Y=y_j)x_iy_j\right) - \overline{X}\;\overline{Y} }{\sqrt{\left(\sum_{i=1}^nP(X=x_i)x_i^2\right)-\overline{X}^2 }\sqrt{\left(\sum_{i=1}^mP(Y=y_i)y_i^2\right) -\overline{Y}^2} }$

Wartość współczynnika korelacji mieści się w przedziale domkniętym <-1; 1>. Im większa jego wartość bezwzględna, tym silniejsza jest zależność liniowa między zmiennymi. $r x y = 0$ oznacza brak liniowej zależności między cechami, $r x y = 1$ oznacza dokładną dodatnią liniową zależność między cechami, natomiast $r x y = - 1$ oznacza dokładną ujemną liniową zależność między cechami, tzn. jeżeli zmienna $x$ rośnie, to $y$ maleje i na odwrót.

Współczynnik korelacji liniowej można traktować jako znormalizowaną kowariancję. Korelacja przyjmuje zawsze wartości w zakresie $[ - 1,1]$ , co pozwala uniezależnić analizę od dziedziny badanych zmiennych.

Ograniczenia stosowalności:

podatny na obserwacje skrajne.
interpretacja jest oczywista tylko dla wielowymiarowego rozkładu normalnego (jest wtedy estymatorem elementu macierzy współczynników tego rozkładu).

[edytuj] Zobacz też:

Kategoria: Miary zależności

We provide Linux to the World

Współczynnik korelacji Pearsona

Z Wikipedii

[edytuj] Zobacz też:

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj