Zmienna losowa

Z Wikipedii

Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Dokładniej: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

Zmienną losową jest na przykład funkcja opisującą wagę lub wzrost ciała wylosowanego z pewnej populacji osobnika. Zjawiskom o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, także można przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami wziętymi z życia mogą być: stan techniczny urządzenia, czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6).

[edytuj] Definicja

Niech $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ będzie dowolną przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową (rzeczywistą) nazywamy dowolną funkcję mierzalną z tej przestrzeni w przestrzeń euklidesową z określonym na niej σ-ciałem zbiorów borelowskich z miarą probabilistyczną:

$X\colon (\Omega, \mathcal F, \mathbb P) \to (\mathbb R, \mathcal B, \mu)$ .

Tradycyjnie zmienne losowe zapisuje się za pomocą wielkich liter z końca alfabetu, np. $X, Y, Z$ , odmiennie niż zwykle zapisuje się funkcje.

[edytuj] Uogólnienia

Rozważa się również zmienne losowe o wartościach zespolonych, nazywa się je wówczas zmiennymi losowymi zespolonymi.

Odwzorowanie mierzalne z $Ω$ w wielowymiarową przestrzeń euklidesową $R n$ nazywa się wektorem losowym. Odwzorowanie takie ma postać $X(\omega) = \left(X_1(\omega), X_2(\omega), \dots, X_n(\omega)\right)$ , gdzie $X_i\;$ dla $i = 1, \dots, n$ są zmiennymi losowymi rzeczywistymi.

Zmienna losowa nie musi mieć w ogólności wartości w przestrzeniach euklidesowych. Wówczas jej definicja brzmi następująco:

$X\colon (\Omega, \mathcal F, \mathbb P) \to A$ ,

gdzie $A$ jest dowolną inną przestrzenią probabilistyczną. Zwykle $A$ są przestrzeniami polskimi ze względu na dobre własności tych przestrzeni.

[edytuj] Przykłady

Niech $Ω$ będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu dwoma kośćmi do gry, składa się on z 36 możliwych wyników. Przypisanie każdej kostce liczby wyrzuconych oczek i zobrazowanie wyniku w postaci pary $(i, j) \in R^2$ , gdzie $1 \leqslant i, j \le 6$ jest zmienną losową.

Zmiennymi losowymi są również następujące funkcje: „iloczyn liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „suma liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „liczba oczek wyrzuconych na pierwszej z kostek”.