Wypukłość funkcji

Z Wikipedii

Spis treści

1 Ogólna definicja
- 1.1 Wypukłość
- 1.2 Wklęsłość
2 Terminologia
3 Własności
4 Funkcja różniczkowalna
5 Zobacz też

[edytuj] Ogólna definicja

[edytuj] Wypukłość

Funkcję rzeczywistą $f$ określoną na zbiorze wypukłym $C$ nazywamy wypukłą, jeżeli $\forall_{x, y \in C} \forall_{\alpha,\beta \in (0, 1),\alpha+\beta=1} f(\alpha x+\beta y) \le \alpha f(x)+\beta f(y)$ .

Jeśli $C$ jest przedziałem, to geometryczny sens powyższej nierówności jest następujący: łuk wykresu funkcji łączący dowolne dwa punkty $P, Q$ tego wykresu leży poniżej lub na cięciwie $P Q$ .

[edytuj] Wklęsłość

Funkcję $f\colon C\to\mathbb R$ nazywamy wklęsłą w tym przedziale, jeżeli w powyższej definicji słowo poniżej zastąpimy przez powyżej, czyli innymi słowy zmienimy zwrot nierówności. Jeszcze inaczej: funkcja $f$ jest wklęsła, jeśli funkcja $- f$ jest wypukła.

[edytuj] Terminologia

Niewielka liczba autorów nazywa funkcje wypukłe w sensie powyższej definicji wklęsłymi i na odwrót; spotyka się też określenia wypukła w dół i wypukła w górę na funkcje wypukłą i wklęsłą odpowiednio.

[edytuj] Własności

Można pokazać, że funkcja wypukła (a zatem i wklęsła) określona na zbiorze otwartym (założenie to jest istotne) jest ciągła.

Funkcja wypukła jest kresem górnym rodziny funkcji liniowych mniejszych bądź równych od niej (punktowo).

[edytuj] Funkcja różniczkowalna

Jeśli funkcja $f$ jest funkcją różniczkowalną określoną na przedziale otwartym, można podać równoważne definicje opierające się na pojęciu stycznej.

[edytuj] Wypukłość

Funkcja $f (x)$ jest wypukła w przedziale $(a, b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży ponad wykresem stycznej dla każdego punktu $x 0$ z przedziału $(a, b)$ . W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem $\forall_{x, x_0 \in (a,b)}\; f(x) - f(x_{0}) \geq f'(x_0)(x-x_{0})$ .

Równanie stycznej do krzywej $y = f (x)$ w punkcie $x 0$ ma postać: $y = f (x 0) + f'(x 0)(x - x 0)$

Jeśli funkcja $f (x)$ jest dwukrotnie różniczkowalna na $(a, b)$ , to aby była ona wypukła (wypukła ku dołowi) w przedziale $(a, b)$ , wystarczy żeby jej druga pochodna w tym przedziale była nieujemna: $\forall_{x \in (a,b)}\; f''(x)\geq 0$

[edytuj] Wklęsłość

Funkcja $f (x)$ jest wklęsła w przedziale $(a, b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży pod wykresem stycznej dla każdego punktu $x 0$ z przedziału $(a, b)$ . W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem: $\forall_{x, x_0 \in (a,b)}\; f(x) - f(x_0) \leq f'(x_0)(x-x_0)$

Jeśli funkcja $f (x)$ jest dwukrotnie różniczkowalna na $(a, b)$ , to aby była ona wklęsła (wypukła ku górze) (w przedziale $(a, b)$ ), wystarczy żeby druga pochodna w tym przedziale była niedodatnia: $\forall_{x \in (a,b)} f''(x)\leq 0$ .