Zbiór wypukły
Z Wikipedii
Spis treści |
Zbiór wypukły – intuicyjnie, podzbiór pewnej przestrzeni euklidesowej, o tej własności, że dowolny odcinek, którego końce należą do tego zbioru, w całości się w nim zawiera.
Pojęcie odcinka może być zdefiniowane rozmaicie, jednak definicja zbioru wypukłego pozostaje może się obejść bez tego pojęcia i jest uogólniona na przypadek dowolnej przestrzeni liniowej.
[edytuj] Definicja formalna
Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Zbiór 
nazywamy wypukłym, gdy
[edytuj] Punkty ekstremalne zbioru wypukłego
Punkt 
nazywamy punktem ekstremalnym zbioru W, jeśli nie należy on do wnętrza żadnego odcinka zawartego w zbiorze W. Innymi słowy, punkt jest ekstremalny jeśli 
.
Intuicyjnie, punkty ekstremalne to "wierzchołki" zbioru wypukłego - ale nie tylko - np. każdy punkt brzegu koła jest punktem ekstremalnym.
[edytuj] Przykłady
Przykłady zbiorów wypukłych na płaszczyźnie: płaszczyzna, półpłaszczyzna, kąt ostry, kąt prosty, koło, kwadrat, trójkąt, odcinek, prostokąt, każdy wielokąt foremny. Pojedynczy punkt też jest zbiorem wypukłym i zarazem punktem ekstremalnym. Wierzchołki wielokątów wypukłych są ich punktami ekstremalnymi.
W przestrzeni natomiast bryłami wypukłymi są np. kula, sześcian, stożek, prostopadłościan.
Zbiór nie będący wypukłym nazywa się wklęsłym lub niewypukłym. Zbiorami niewypukłymi są takie zbiory jak:
Każdy skończony zbiór punktów o co najmniej dwóch elementach oraz każdy okrąg są zbiorami wklęsłymi. Przykładami niewypukłych brył są: sfera, torus.
Kąt płaski jest wypukły wtedy i tylko wtedy gdy jego miara jest mniejsza bądź równa π lub gdy jest pełny.
[edytuj] Właściwości zbiorów wypukłych
Część wspólna dowolnie wielu zbiorów wypukłych jest znów zbiorem wypukłym, ale suma zbiorów wypukłych nie musi być zbiorem wypukłym.
Dla wielościanów wypukłych prawdziwe jest twierdzenie Eulera o wielościanach, które mówi, że S + W − K = 2, gdzie S to liczba ścian, W to liczba wierzchołków a K liczba krawędzi.
