Zbiór algebraiczny
Z Wikipedii
Zbiór algebraiczny - w geometrii algebraicznej, podzbiór przestrzeni afinicznej Kn, gdzie K oznacza pewne ciało (najczęściej algebraicznie domknięte), złożony z wszystkich wspólnych zer pewnego zbioru wielomianów pierścienia . Innymi słowy, zbiór
nazywamy zbiorem algebraicznym wyznaczonym przez zbiór wielomianów (albo zbiorem wspólnych zer zbioru i oznaczamy .
Jeśli jest ideałem pierścienia , generowanym przez zbiór , to . Każdy zbiór algebraiczny można zatem traktować jako wspólny zbiór zer pewnego ideału pierścienia wielomianów. Z twierdzenia Hilberta o bazie wiadomo, że każdy ideał pierścienia jest skończenie generowany, zatem istnieją takie wielomiany , które generują ideał . Z drugiej strony dla każdego wielomianu istnieją wielomiany , że
- .
Wynika stąd, że każde zero wielomianów jest także zerem dowolnego wielomianu z ideału . Zatem każdy zbiór algebraiczny jest zbiorem rozwiązań skończonego układu równań algebraicznych
- .
Często, przyjmuje się właśnie taką definicję zbioru algebraicznego. Łatwo zauważyć, że zbiorem algebraicznym ideału zerowego jest cała przestrzeń Kn, natomiast zerem ideału jednostkowego (1) jest zbiór pusty, gdyż wielomian stały 1 nie ma zer. Jak widać, zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami algebraicznymi. Można wykazać, że suma skończonej rodziny zbiorów algebraicznych oraz część wspólna dowolnej rodziny podzbiorów algebraicznych przestrzeni Kn są zbiorami algebraicznymi. Pozwala to wprowadzić w tej przestrzeni topologię, przyjmując za rodzinę zbiorów domkniętych rodzinę zbiorów algebraicznych. Tak określoną topologię nazywamy topologią Zariskiego przestrzeni Kn. Topologia Zariskiego przestrzeni nie jest topologią Tichonowa.
[edytuj] Źródła
- Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987.