Przestrzeń afiniczna
Z Wikipedii
Przestrzeń afiniczna – struktura (E,V,+) gdzie V - przestrzeń liniowa nad ciałem K, E - niepusty zbiór (punktów), a + jest funkcją przypisującą każdej parze elementów x z E ,v z V punkt z E.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Dla rozróżnienia wektory z V oznaczane będą czcionką pogrubioną. Operacja + jest funkcją postaci
spełniającą aksjomaty
- 1)
- 2)
- 3)
Elementy zbioru E nazywane są punktami przestrzeni afinicznej, a przestrzeń V nazywana jest przestrzenią wektorów swobodnych.
[edytuj] Własności
Bazą przestrzeni afinicznej nazywamy układ (o;B) gdzie o jest pewnym wyróżnionym punktem z E a B jest bazą przestrzeni V. Punkt o nazywany jest punktem bazowym lub początkiem układu bazowego.
Dla dowolnych punktów p,q należących do E wektor v taki, że p=q+v oznaczany jest p-q i nazywany różnicą punktów. Wektor taki wyznaczony jest jednoznacznie.
Jeżeli V jest przestrzenią unitarną nad ciałem R, to przestrzeń afiniczną (E,V,+) nazywamy przestrzenią euklidesową. W przestrzeni takiej można wprowadzić metrykę d na zbiorze E. Jeżeli v =q-p to d zdefiniowana jest następująco:
gdzie <·|·> jest iloczynem skalarnym w V.
[edytuj] Przykłady
Istotnym, choć trywialnym, przykładem przestrzeni afinicznej jest trójka (V,V,+), gdzie V jest przestrzenią liniową, a + jest dodawaniem wektorów w tej przestrzeni.
