Topologia Tichonowa

Z Wikipedii

Topologia Tichonowa to pojęcie w topologii odnoszące się do sposobu wprowadzania rodziny zbiorów otwartych na iloczynie kartezjańskim przestrzeni topologicznych.

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
3 Własności
4 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Przypuśćmy że $\{(X_i,\tau_i):i\in I\}$ jest rodziną przestrzeni topologicznych i niech $X=\prod\limits_{i\in I} X_i$ . Dla skończonego zbioru indeksów $\{i_1,\ldots,i_n\}\subseteq I$ i dla ciągu zbiorów $U_1\in \tau_{i_1},\ldots, U_n\in \tau_{i_n}$ otwartych w odpowiednich topologiach zdefiniujmy

$V(i_1,\ldots,i_n,U_1,\ldots,U_n)=\big\{f\in \prod\limits_{i\in I} X_i: f(i_1)\in U_1\ \wedge\ldots\wedge f(i_n)\in U_n\big\}.$

Wówczas rodzina

${\mathcal B}=\big\{V(i_1,\ldots,i_n,U_1,\ldots,U_n):n\in {\mathbb N}\ \wedge\ i_1,\ldots,i_n\in I\ \wedge\ U_1\in \tau_{i_1},\ldots, U_n\in\tau_{i_n}\big\}$

jest zamknięta na skończone przekroje, pokrywa $X$ i zawiera zbiór pusty. Jest więc ona bazą pewnej topologii $τ$ na $X$ . Topologia $τ$ jest nazywana topologią Tichonowa a przestrzeń topologiczna $(X,τ)$ bywa nazywana przestrzenią produktową.

Produkty skończenie wielu przestrzeni topologicznych były rozważane od niemal pierwszych lat topologii, ale struktura topologii dla produktów kartezjańskich dowolnych rodzin przestrzeni topologicznych była opublikowana dopiero w 1930 przez rosyjskiego topologa Andrieja Tichonowa.

[edytuj] Przykłady

Jeśli rozważymy topologię Tichonowa na produkcie kartezjańskim skończenie wielu kopii przestrzeni liczb rzeczywistych (z naturalną topologią) to otrzymamy przestrzeń euklidesową.
Zbiór Cantora jest homeomorficzny z produktem Tichonowa przeliczalnie wielu przestrzeni dyskretnych ${0,1}$ .
Przestrzeń ${\mathbb R}\setminus {\mathbb Q}$ liczb niewymiernych (z topologią podprzestrzeni przestrzeni ${\mathbb R}$ ) jest homeomorficzna z produktem Tichonowa przeliczalnie wielu przestrzeni liczb naturalnych ${\mathbb N}$ (gdzie każda kopia ${\mathbb N}$ wyposażona jest w topologię dyskretną).

[edytuj] Własności

Niech $\{(X_i,\tau_i):i\in I\}$ będzie rodziną przestrzeni topologicznych, $X=\prod\limits_{i\in I} X_i$ i niech $τ$ będzie topologią Tichonowa na $X$ .

Topologia $τ$ jest najsłabszą topologią na $X$ taką że każda projekcja $\pi_i:X\longrightarrow X_i:f\mapsto f(i)$ (dla $i\in I$ ) jest ciągła.
Wspomniane powyżej projekcje $π i$ są również odwzorowaniami otwartymi.
Jeśli ${\mathcal B}_i$ jest bazą topologii na $X i$ (dla $i\in I$ ) to

${\mathcal B}^*=\big\{V(i_1,\ldots,i_n,U_1,\ldots,U_n):n\in {\mathbb N}\ \wedge\ i_1,\ldots,i_n\in I\ \wedge\ U_1\in {\mathcal B}_{i_1},\ldots, U_n\in{\mathcal B}_{i_n}\big\}$

jest bazą topologii $τ$ .

Jeśli każda z przestrzeni $X i$ spełnia aksjomat oddzielania $T j$ dla $j\leq 3\tfrac{1}{2}$ , to przestrzeń produktowa $X$ spełnia ten sam warunek.
Jeśli zbiór indeksów $I$ jest przeliczalny i każda przestrzeń $X i$ spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności, to przestrzeń produktowa $X$ spełnia ten sam aksjomat. Analogiczne stwierdzenie zachodzi też dla drugiego aksjomatu przeliczalności.
Jeśli $|I|\leq 2^{\aleph_0}$ i każda z przestrzeni $X i$ jest ośrodkowa, to przestrzeń produktowa też jest ośrodkowa.
Zachodzi następujące Twierdzenie Tichonowa:

Jeśli $X i$ (dla $i\in I$ ) są przestrzeniami zwartymi, to przestrzeń produktowa $\prod\limits_{i\in I} X_i$ jest zwarta.

Twierdzenie powyższe zostało opublikowane w 1930 przez Tichonowa. Warto zauważyć że (sformułowane w pełnej ogólności) to twierdzenie jest równoważne z aksjomatem wyboru, a ograniczone do przestrzeni Hausdorffa jest równoważne ze stwierdzeniem, że każdy ideał na algebrze Boole'a może być rozszerzony do ideału pierwszego. (Równoważność odpowiednich stwierdzeń zachodzi na gruncie ZF.)