Zbiór ograniczony
Z Wikipedii
Zbiór ograniczony – termin w matematyce używany na określenie zbiorów w pewnym sensie małych. Dokładna definicja tego pojęcia zależy od kontekstu w którym jest ono wprowadzane.
Spis treści |
[edytuj] Porządki częściowe
Niech 
będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że 
i 
. Powiemy że
- element s jest ograniczeniem górnym zbioru A jeśli
, - element s jest ograniczeniem dolnym zbioru A jeśli
.
Każdy element zbioru X jest zarówno ograniczeniem dolnym jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego.
Jeśli istnieje ograniczenie górne dla zbioru A, to mówimy iż zbiór ten jest ograniczony z góry, a jeśli istnieje ograniczenie dolne, to powiemy że zbiór jest ograniczony z dołu.
Zbiory ograniczone to zbiory które mają obydwa ograniczenia, dolne i górne. Tak więc podzbiór częściowego porządku jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest on zawarty w pewnym przedziale.
W szczególności, podzbiór A zbioru liczb rzeczywistych nazwiemy ograniczonym z góry (z dołu), jeżeli istnieje liczba większa (mniejsza) od wszystkich liczb tego zbioru, a jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest zawarty w pewnym skończonym przedziale.
[edytuj] Przestrzenie metryczne
Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną. Powiemy, że zbiór jest ograniczony w X jeśli jest on zawarty w pewnej kuli.
Równoważnie, niepusty zbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy zbiór 
jest ograniczony z góry (jako zbiór liczb rzeczywistych).
[edytuj] Przestrzenie liniowo-topologiczne
Niech X będzie przestrzenią liniowo-topologiczną. Powiemy, że zbiór jest ograniczony w X, gdy dla każdego otoczenia zera 
istnieje 
, że 
.
Można wykazać, że jeśli X jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to definicja ta jest równoważna definicji zbioru ograniczonego w sensie przestrzeni metrycznych.
