Zdarzenie losowe niemożliwe

Z Wikipedii

Zdarzenie losowe niemożliwe – w rachunku prawdopodobieństwa pusty podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych. Jest ono interpretowane jako zdarzenie losowe, które nie może zaistnieć.

Zdarzenie losowe niemożliwe ma prawdopodobieństwo równe zero.

Wynika to z trzeciego aksjomatu Kołmogorowa (tzw. aksjomatu przeliczalnej addytywności):

Jeśli $A_1, \dots, A_n, \dots$ jest dowolnym ciągiem zdarzeń i dla dowolnych $i\ne j$ zachodzi $A_i\cap A_j=\emptyset,$ to:

$P(A_1)+\dots+P(A_n)+\dots=P(A_1\cup\dots\cup A_n\cup\dots)$

Podstawiając $n=2, A_1=A_2=\emptyset$ uzyskuje się:

$P(\emptyset)+P(\emptyset)=P(\emptyset\cup\emptyset)$

czyli:

$2P(\emptyset)=P(\emptyset).$

Po odjęciu stronami $P(\emptyset)$ dostaje się:

$P(\emptyset)=0.$

Nie każde jednak zdarzenie losowe o prawdopodobieństwie zero jest niemożliwe.

Rozważmy zdarzenia

$L_x, 0\le x\le 5:$ "losowo wybrana (z jednakowym prawdopodobieństwem) liczba rzeczywista z przedziału $[0,5]\;$ jest równa $x.\;$ "

Ze względu na założenie jednakowego prawdopodobieństwa, $p=P(L_x)\;$ takiego zdarzenia nie zależy od $x\;$ . Prawdopodobieństwo to musi wynosić zero. Gdyby bowiem było $p>0,\;$ to biorąc $n>\tfrac{1}{p}$ rozłącznych zdarzeń $L_{x_1}, L_{x_2},\dots, L_{x_n}$ z trzeciego aksjomatu Kołmogorowa uzyskalibyśmy $P(L_{x_1} \cup\dots\cup L_{x_n})=np>1$ co jest sprzeczne z definicją prawdopodobieństwa (a ściślej z dającym się wyprowadzić z aksjomatów warunkiem $P(A)\le 1\;$ dla dowolnego zdarzenia A). Jednak $L_x\;$ nie są zdarzeniami niemożliwymi, gdyż są zbiorami niepustymi $L_x=\{x\}.\;$

Istnieje tylko jedno zdarzenie niemożliwe (bo jeden jest podzbiór pusty przestrzeni zdarzeń elementarnych), jednak można je uzyskać na różne sposoby. W szczególności zdarzeniem niemożliwym jest iloczyn dowolnych dwóch zdarzeń rozłącznych, np. jednoczesne wyrzucenie jednego oczka i liczby parzystej przy jednokrotnym rzucie kostką do gry.

Zdarzenie niemożliwe jest rozłączne z każdym zdarzeniem, także z sobą samym, gdyż:

$\emptyset \cap A=\emptyset$

Jest ono też niezależne od każdego zdarzenia, także od siebie:

$P(\emptyset\cap A)=P(\emptyset)P(A)=0$

[edytuj] Źródła

I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 774.
W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. T. 1. Rachunek prawdopodobieństwa. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007, s. 8. ISBN 978-83-01-14291-9.
Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, s. 453. ISBN 83-7469-189-1.
Encyklopedia szkolna – Matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 329.
J. Wawrzynek: Metody opisu i wnioskowania statystycznego. Wrocław: Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, 2007, s. 43.