Convolução

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Em matemática, particularmente na área de análise funcional, convolução é um operador matemático que, a partir de duas funções, produz uma terceira. O conceito de convolução está ligado com o de média móvel, e é crucial no estudo de sistemas lineares invariantes no tempo.

[editar] Definição

A notação para a convolução de $f$ e $g$ é $f * g$ . Ela é definida como a integral do produto de uma das funções com uma cópia revertida e deslocada da outra. A função resultante depende do valor deste deslocamento.

$(f * g )(t) = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau$ ,

Para se adquirir uma boa visão intuitiva da convolução, é preciso entender que diversas cópias transladadas e tomadas de trás-pra-frente de uma das funções são ponderadas pelo valor da outra função, e somadas, produzem o resultado.

Na fórmula acima, $f$ seria a função de ponderação, enquanto que cópias revertidas de $g$ estariam sendo deslocadas e somadas ao resultado. Entretanto, a convolução não depende da ordem das funções, ou seja, a função de ponderação pode ser tanto $f$ quanto $g$ , produzindo o mesmo resultado.

Existe ainda uma definição de convolução para funções de domínio discreto, dada por

$(f * g)(m) = \sum_n {f(n) g(m - n)} \,$

[editar] Propriedades

Todos os vários operadores de convolução obedecem as seguintes propriedades:

[editar] Comutatividade

$f * g = g * f \,$

[editar] Associatividade

$f * (g * h) = (f * g) * h \,$

[editar] Distributividade

$f * (g + h) = (f * g) + (f * h) \,$

[editar] Associatividade com multiplicação escalar

$a (f * g) = (a f) * g = f * (a g) \,$

para qualquer número $a$ real ou complexo.

[editar] Regra da diferenciação

$\mathcal{D}(f * g) = \mathcal{D}f * g = f * \mathcal{D}g \,$

onde $\mathcal{D}f$ denota a derivada de $f$ . No caso discreto, uma aproximação é o uso do operador diferencial

$\mathcal{D}f[n] = f[n+1] - f[n]$ .

Esta regra deve-se ao fato de que as operações de derivação e integração podem ser realizadas através da convolução por funções específicas, assim como a translação.

[editar] Teorema da Convolução

O teorema da convolução diz que

$\mathcal{F}(f * g) = \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g)$

onde F(f) denota a transformada de Fourier de f. Versões deste teorema também valem para a transformada de Laplace, a transformada bi-lateral de Laplace e a transformada de Mellin.

[editar] Aplicações

A operação de convolução pode ser utilizada para encontrar a resposta de um sistema linear de equações diferenciais. A saída de um sistema linear também pode ser dada pela convolução da entrada pela resposta a impulso do sistema.
Em estatística, a função de densidade de probabilidade da soma de duas variáveis aleatórias $X$ e $Y$ é dada pela convolução das respectivas funções de densidade de probabilidade.
Segundo o teorema da convolução, a convolução de duas funções resulta na multiplicação de suas transformadas de Fourier no domínio freqüência.
Ao multiplicarem-se dois polinômios, os coeficientes do produto serão dados pela convolução dos coeficientes originais (estendendo-se as seqüências de coeficientes com zeros, conforme necessário).
Generalizando-se os casos acima, a convolução pode ser definida para quaisquer duas funções integráveis definidas em um grupo topológico localmente compacto. Uma generalização diferente é a convolução de distribuições.