Discussão:Número complexo

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Quais são as operações possiveis com números complexos?

[editar] números complexos

Tenho certo conhecimento da materia, mas me veio uma duvida. Se todo numero complexo é raiz de uma equação, então o seu conjugado também é, portanto, por que um número real não vem sempre com raiz dupla, sendo que este pode ser escrito como R + 0i ou R - 0i? obrigado fcmullets@bol.com.br

R + 0 i = R - 0 i

porque

R + 0 i - (R - 0 i) = (R - R) + (0 - 0) i = 0

com

R

Real. Logo o exemplo não faz sentido, o número é o mesmo!

Cada número real tem sempre uma raiz dupla por exemplo $\sqrt{4} = 2$ mas $\sqrt{4}=-2$ também é solução.

Quando substituimos 4 por um número complexo, continuamos a ter duas soluções. $\sqrt(i) = \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$ e $\sqrt(i) = -\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$

Para um exemplo com conjugados:

$\sqrt{-4}=2i$ mas também $\sqrt{-4}=-2i$

Cvalente

Formalmente, o símbolo de raiz, $\sqrt[n]{x}$ , admite apenas

x

real positivo quando

n

é par, e

x

real quando

n

é ímpar. O motivo disto é simples: um símbolo não pode ter dois valores diferentes, isto geraria ambigüidade. Portanto, o exemplo de erro fornecido no artigo estaria, segundo as regras estritamente formais, errado. Porém, usualmente, é muito comum o uso desta representação para raízes n-ésimas de números, ocasião na qual é necessária cautela devido ao erro apresentado. Na verdade, quando dizemos raiz n-ésima de um número a, estamos, na verdade, nos referindo às soluções da equação

x n = a

Sobre a propriedade citada: para maior esclarecimento, vou prová-la aqui.

Seja $P(x) \in \mathbb{R}$ , ou seja,

P (x)

é um polinômio de coeficientes reais. Seja $b \in \mathbb{C} - \mathbb{R}$ , ou seja,

b

é um número complexo com parte imaginária não-nula e, portanto, $b \neq \overline{b}$ , onde $\overline{b}$ denota o conjugado de

b

Considere a forma polinomial

$P(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i, com \; a_0, a_1, ..., a_n \in \mathbb{R}$

Suponha que

P (b) = 0

, ou seja,

b

é uma raíz do polinômio

P (x)

. Isso implica que $\overline{P(b)} = 0$ , também. Mas,

$\overline{P(b)} = \sum_{i=0}^{n} a_i \overline{b}^i = P(\overline{b}) = 0$

Portanto, temos que $P(b) = 0 \Rightarrow P(\overline{b}) = 0$ . É isto que foi provado. Observe que o que provei nada afirma sobre a multiplicidade da raíz!. Apenas provei que, se um número é raíz de um polinômio de coeficientes reais, então seu conjugado também o é. Porém, se o número é real, seu conjugado é igual, ou seja, você estará afirmando que se b é raíz, então b também o é, o que é redundante.

Por último, devo lembrar que Raízes conjugadas e raízes duplas são conceitos diferentes. A expressão raíz dupla refere-se a multiplicidade da referida raíz. Tome um polinômio $P(x) \in \mathbb{C}[x]$ . Fatorando-o na forma $P(x) = (x - x_1)^{\alpha_1} (x - x_2)^{\alpha_2} (x - x_3)^{\alpha_3} ...$ , onde

x 1, x 2,...

são todos distintos entre si e não nulos, teremos que

α n

é a multiplicidade da raíz

x n

. Esta é uma definição. Raíz dupla é uma raíz que possui multiplicidade 2. Podemos atestar a multiplicidade de uma raíz derivando o polinômio: uma raíz de multiplicidade n será raíz do polinômio e de suas derivadas até a (n-1)-ésima.

Já raízes conjugadas refere-se ao teorema que citei e provei acima. Firer 05:20, 31 Dezembro 2005 (UTC)

"um símbolo não pode ter dois valores diferentes, isto geraria ambigüidade. Portanto, o exemplo de erro fornecido no artigo estaria, segundo as regras estritamente formais, errado"

Não se trata de dois valores diferentes, mas sim um conjunto com dois valores.

O sentido em que utilizei $\sqrt{x}$ foi o de aplicação inversa em que considerando

f (x) = x 2

então $\sqrt{x} = f^{-1}(x)$ , onde

f - 1 (x)

é a pre-imagem de x pela função f. Como $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ não é injectiva, a pre-imagem em geral vai ser um conjunto com mais do que um elemento. Na realidade, $x > 0 \Rightarrow cardinal(f^{-1}(x)) = 2$ . A designação raiz dupla pode causar confusão com o termo utilizado no estudo das soluções

P (x) = 0

onde P é um polinómio, mas o próprio termo raiz já gera essa ambiguidade.

Se definirmos como raiz quadarada de um número x como um número que quando multiplicado por si mesmo tem como resultado x, os exemplos que dei são legítimos e verdadeiros. Todos os números diferentes de zero têm duas raizes quadradas e nenhuma goza de um estatuto preferencial.A definição de $\sqrt{z}$ quando $z \in \mathbb{C}$ é ambígua no sentido em implica a escolha de um "corte" e este é essencialmente arbitrário (tem de ser uma curva regular que una 0 a $\infty$ na esfera de Riemann e sem auto-intersecções). Para raízes quadradas de números reais positivos, a ambiguidade também existe, mas por convenção (e apenas isso), escolhe-se apenas uma das alternativas e quando se escreve $\sqrt{x}, x>0$ , subentende-se a raiz quadrada positiva. Mas isto é puramente convencional. Tal como é convencional dizer que $i=\sqrt{-1}$ , também se pode fazer todos os cálculos assumindo $i=-\sqrt{-1}$ . A escolha é arbitrária. O importante é que i seja uma raiz quadrada de -1.

Assim e pelo que expliquei quando digo que uma raiz de um número y é dupla, apenas pretendo dizer que

x 2 = y

tem duas soluções distintas, utilizando para tal a linguagem da pessoa que colocou o problema em primeiro lugar. Assim 4 tem uma raiz quadrada dupla, mas 0 não. Apenas pretendi exemplificar que:

* R + 0i ou R - 0i são o mesmo número

* "por que um número real não vem sempre com raiz dupla", que na realidade existem sempre duas soluções, mesmo nos reais (excepto para o número 0)

Na demonstração do teorema de que num polinómio com coeficientes reais o conjunto dos zeros (uso este termo sinónimo em vez de raiz para não confundir mais as coisas) é fechado para a conjugação existe uma pequena falta. Quando se escreve: " $\overline{P(b)} = \sum_{i=0}^{n} a_i \overline{b}^i = P(\overline{b})$ parece-me muito resumido e deve-se justificar que a conjugação comuta com a multiplicação e com a soma $\overline{ab} = \overline{a}\overline{b}$ e $\overline{a+b} = \overline{a}+\overline{b}$ o que implica imediatamente $\overline{a^n} = \overline{a}^n$ , para n inteiro. Acho que isto deve ser referido explicitamente e que sem isto a prova está incompleta porque no artigo estas propriedades da conjugação não são referidas (pelo menos na versão actual).

Mais genéricamente e não apenas para polinómio se $f(\overline{z}) = \overline{f(z)}$ então o conjunto das soluções

f (z) = 0

é fechado para a conjugação. $\overline{f^{-1}(0)} = f^{-1}(0)$

"Formalmente, o símbolo de raiz, $\sqrt[n]{x}$ , admite apenas x real positivo quando n é par, e x real quando n é ímpar". Isto não é verdade. Exemplo: 0 é par porque é divisível por 2. No entanto $\sqrt[0]{2}$ não existe, porque por definição $x\ne 0 \Rightarrow x^0=1$ . Uma afirmação mais rigorosa seria (sempre x real): pode sempre ser sempre definido para x>0 e para qualquer n real não nulo e não apenas inteiro; pode ser definido para qualquer x quando n é impar positivo e x!=0 quando n é impar negativo.

Já agora a título de curiosidade em $\mathbb{C}$ um número pode ter um número infinito de raizes de um dado grau. As soluções de $z^{\sqrt{2}}=i$ é um conjunto infinito (numerável) de pontos, densos no círculo unitário, se bem que as soluções não venham em pares conjugados.

Cvalente 14:48, 1 Janeiro 2006 (UTC)

Creio que toda a discussão provém do fato de a expressão raiz dupla (de multiplicidade 2) ter sido usado inconvenientemente, significando no contexto raiz conjugada. A intenção do meu texto foi esclarecer diferenças, mas o envolvimento de outros assuntos deixou-o realmente inadequado. Sobre o símbolo de raíz, até onde eu sei não existe convenção sobre a utilização do mesmo quando n é real não natural. O ideal é sempre representar usando a equação correspondente. É interessante o fato citado, quando o exponente é irracional as soluções de uma equação como tal ficam realmente interessantes. Devo desculpas pelo texto complicado e por alguns erros de rigor matemático, já que omiti "n diferente de zero" em minha definição e outras coisas mais. No flames. Firer 04:46, 10 Janeiro 2006 (UTC)

[editar] i

I don't speak your language, but I hope you understand English. In the first lines of the article you introduce the imaginary unit i, without mentioning its characteristic property $i 2 = - 1$ . This property is actually the main point about complex numbers.130.89.222.126 17:44, 11 Agosto 2006 (UTC)

Well that was not very smart (even though the link did provide the answer).

I'll consider better ways to place that information. For now this should do it. Thank you.

Realmente faltava a definição i^2=-1. Coloquei o essencial mas estou a considerar melhores maneiras de expor esta informação.

Obrigado.

Cláudio Valente 20:20, 11 Agosto 2006 (UTC)

Retirado de "http://pt.wikipedia.org../../../n/%C3%BA/m/Discuss%C3%A3o%7EN%C3%BAmero_complexo_d058.html"

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