Número complexo

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Conjuntos de números
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\mathbb{H}\sub\mathbb{O}$
Deus criou os inteiros; tudo o resto é trabalho do Homem.
Leopold Kronecker
Naturais $\mathbb{N}$ Inteiros $\mathbb{Z}$ Racionais $\mathbb{Q}$ Reais $\mathbb{R}$ Complexos $\mathbb{C}$ Quaterniões $\mathbb{H}$ Octoniões $\mathbb{O}$

Os números complexos são uma extensão $\mathbb{C}$ do conjunto dos números reais $\mathbb{R}$ . Mais precisamente, o conjunto $\mathbb{C}$ é um corpo formado por números da forma $x + yi\,\!$ , onde $x, y \in \mathbb{R}$ e $i\,\!$ é a unidade imaginária ( $i 2 = - 1$ ). Em engenharia e física, é comum a troca da letra $i\,\!$ pela letra $j\,\!$ , devido ao freqüente uso da primeira como indicação de corrente elétrica.

Os números complexos denotam uma quantidade abstrata que pode ser usada em cálculos e possuir significado na Física. Porém, sua aceitação na comunidade matemática foi pequena durante muito tempo. Foi apenas com o descobrimento da representação como um ponto no plano de Argand-Gauss e de aplicações físicas para quantidades imaginárias que os números complexos começaram a ser aceites.

Plano de Argand-Gauss

Índice

1 Representações de um número complexo
2 Operações Elementares
- 2.1 Forma exponencial
- 2.2 O número complexo como extensão algébrica
3 Links externos

[editar] Representações de um número complexo

Um número complexo $z\,\!$ pode ser representado através de várias maneiras, dentre as quais as mais usuais são:

Forma retangular: $z = x + yi\,\!$ , com $x, y \in \mathbb{R}$ . Nesta forma, $x\,\!$ é a parte real e $y\,\!$ é chamada parte imaginária do número complexo;

Forma polar: $z = r (\cos\theta + i\sin\theta)\,\!$ , onde $r, \theta \in \mathbb{R}$ . Neste caso, $r\,\!$ é chamado módulo do número $z\,\!$ e é freqüentemente denotado como $\left|z\right|$ , e $\theta\,\!$ é chamado argumento, sendo denotado como $\operatorname{arg}(z)$ .

A representação polar de um número complexo surgiu da visualização gráfica do mesmo, no plano de Argand-Gauss. Nele, tem-se representada a parte real no eixo das abcissas, a parte imaginária no eixo das ordenadas, o argumento e o módulo do número. Tal representação, em parte, ajudou na aceitação dos números complexos por parte da comunidade matemática da época.

[editar] Operações Elementares

O conjunto dos números complexos é um corpo. Portanto, é fechado sobre as operações de adição e multiplicação, além de possuir a propriedade de que todo elemento não-nulo do conjunto possui um inverso multiplicativo. As definições usuais para as operações elementares sobre dois números complexos $z = a + bi\,\!$ e $w = c + di\,\!$ são:

Soma:

$z + w = w + z = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b+d)i\,\!$

Produto:

$zw = wz = (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)i\,\!$

Conjugado:

$\overline{z} = a - bi$ , onde $\overline{z}$ denota o conjugado de z. Outra notação usada para o conjugado de z é

z *

Módulo:

$\left|z\right| = r = \sqrt{a^2 + b^2}$

Inverso multiplicativo (para $z \neq 0$ ):

$\frac{1}{z} = \frac{1}{a + bi} = \frac{a - bi}{(a + bi)(a - bi)} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} = \frac{\overline{z}}{\left|z\right|^2}$

As operações de subtração e divisão são efetuadas transformando em adição com o oposto aditivo e em multiplicação com o inverso multiplicativo, respectivamente. Além destas, existem mais algumas propriedades importantes dos números complexos:

$z \overline{z} = \left|z\right|^2$ ;

Identidade de de Moivre: $z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))\,\!$ , onde $n \in \mathbb{Z}$ .

[editar] Forma exponencial

Uma outra representação é possível com o uso da fórmula de Euler:

$\cos(\theta) + i\sin(\theta) = e^{i\theta}\,\!$ , onde $e\,\!$ é o número de Euler,

possibilitando a forma exponencial de um número complexo:

$z = a + bi = r (\cos\theta + i\sin\theta) = r e^{i\theta}\,\!$ .

Esta forma facilita o trabalho com as operações de exponenciação e radiciação complexas, embora ainda assim suas fórmulas sejam complicadas.

[editar] O número complexo como extensão algébrica

No campo da álgebra abstrata, o número $i\,\!$ pode ser interpretado como o elemento que gera a extensão algébrica dos números reais contendo a raiz do polinômio $x^{2}+1\,\!$ . Isto é, o corpo $\mathbb{C}$ é isomorfo ao corpo quociente $\mathbb{R}/(x^{2}+1)$ pela aplicação $\phi : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}/(x^{2}+1)$ , homomorfismo de anéis tal que restrito aos reais é a aplicação identidade e que leva $i\,\!$ em $\phi (i) = x\,\!$ .