Número irracional
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Número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são números reais mas não racionais.
Existem dois tipos de números irracionais:
- Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Todo número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões e raizes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico, por exemplo
![\sqrt {2} \sqrt[3] { \frac {42}{5} - \sqrt[5] {7}}](../../../math/0/d/9/0d937eaa15cb57656465bc96a8fe5781.png)
. A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que não se expressam através de radicais.
- Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Várias constantes matemáticas são transcendentes, como pi (
) e o número de Euler (
).
A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feita usando-se números complexos.
[editar] Raiz quadrada de dois é irracional
Prova:
Vamos provar por redução ao absurdo. Suponha que 
é racional.
Então podemos colocá-lo na forma p / q, onde mdc(p,q) = 1, da seguinte forma:
p / q = .
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
( p / q )2 = 2. Então, p2 = 2q2. Como p2 é par, então p também é par.
Logo podemos chamar p = 2k. Substituindo na última igualdade, ficamos com:
( 2k )2 = 2q2. Ou seja, 4k2 = 2q2 e então em 2k² = q², mostrando que q também é um par.
Mas isso é absurdo, pois evidenciamos que mdc(p,q)=1. Concluímos que é irracional.
[editar] História
Foi só em 1872 que o matemático alemão Dedekind (de 1831 a 1916) fez entrar na Aritmética, em termos rigorosos os números irracionais que a geometria sugerira há mais de vinte séculos.
