Ordem de operações

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Em matemática, ordem de operações refere-se à convençâo que indica a ordem pela qual devem sevem ser realizadas as operações numa expressão.

Índice

1 Parênteses
2 Outros agrupamentos
3 Supressão de parênteses
4 Precedência das operações
5 Exemplo
6 Motivo da precedência da potenciação sobre a multiplicação e desta sobre a adição

[editar] Parênteses

Numa expressão, devem ser realizadas em primeiro lugar as operações que estão dentro de parênteses, começando pelos pares de parêntesis mais interiores.

Podem ser usados vários tipos de parênteses, como curvos (), rectos [] ou chavetas {}, mas estes servem apenas para uma melhor visualização dos pares e não têm influência na ordem.

Outro método utilizado para uma melhor identificação dos pares de parênteses consiste na utilização de diversos tamanhos de parênteses, como por exemplo em $\left(\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\!\!\!\!(2+3)\times 4\right)\times(1+5)$ , ou parênteses de cores diferentes, como é utilizado no Microsoft Excel.

[editar] Outros agrupamentos

Existem outras formas de agrupar sub-expressões (que devem ser calculadas primeiro). Como exemplos. temos o símbolo de raiz ou a barra de conjugação complexa. Assim,

$3\sqrt[2+7]{5+6}=3\sqrt[9]{11}$
$i.\overline{i+2i}=i.\overline{3i}$

[editar] Supressão de parênteses

Uma vez que a presença de parênteses regula totalmente a ordem dos cálculos, quaisquer outras regras seriam redundantes. No entanto, por motivos de clareza de escrita, muitas vezes os parênteses são suprimidos e, por este motivo, convencionou-se uma ordem pela qual se devem efectuar os cálculos na ausência de parênteses. Nos casos em que possam surgir dúvidas convém usar parêntesis, ou esclarecer qual a regra que está a ser usada. Por exemplo, $\sin 2x\,\!$ pode ser interpretado como $(\sin 2)\times x$ , $\sin(2\times x)$ ou, nalguns textos, $(\sin(x))^2\,\!$ .

Actualmente, os processadores de texto permitem retirar alguns parênteses mantendo o rigor e aumentando a clareza. Por exemplo a expressäo $\frac{a+b}{cd}$ não suscita nenhuma dùvida de que significa (a+b)/(cXd).

[editar] Precedência das operações

Na ausência de parênteses, as operações realizam-se pela ordem seguinte:

Factoriais
Cálculo de funções
Potências e raizes (da direita para a esquerda)
Multiplicações e divisões (da esquerda para a direita)
Adições e subtracções (da esquerda para a direita)

[editar] Exemplo

A expressão

1+3X2^3^sin4!/5+5X8

que graficamente se pode representar por

$1+3\times 2^{3^{\frac{\sin 4!}{5}}}+5\times 8$

é equivalente à expressão com parênteses

1+(3X(2^(3^((sin(4!))/5))))+(5X8).

[editar] Motivo da precedência da potenciação sobre a multiplicação e desta sobre a adição

A razão prende-se com a distributividade. De facto na expressão a+bXc, quer pretendessemos dizer (a+b)Xc, quer a+(bXc), poderiamos sempre começar com uma multiplicação, uma vez que (a+b)Xc=aXc+bXc. No entanto, a+(bXc) não pode ser calculada começando com uma adição. Deste modo, podendo começar sempre com multiplicações, é natural que a ausência de parênteses indique também que se comece pelas multiplicações. O mesmo se passa no que diz respeito à potenciação versus multiplicação, uma vez que aX(b^c) não pode calculada começando por uma multiplicação.

Retirado de "http://pt.wikipedia.org../../../o/r/d/Ordem_de_opera%C3%A7%C3%B5es.html"

Categoria: Álgebra