Multiplicação

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OPERAÇÕES MATEMÁTICAS

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Na sua forma mais simples a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador.

A multiplicação é um exemplo de operação binária.

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de recta dados determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois inciais (veja aqui).

[editar] Propriedades importantes

Comutatividade: A ordem dos fatores não altera o resultado final da operação. Assim, se x . y = z, logo y . x = z.

Associatividade: O agrupamento dos fatores não altera o resultado. Assim, se (x . y) . z = w, logo x . (y . z) = w.

Distributividade: Um fator colocado em evidência numa soma dará como produto a soma do produto daquele fator com os demais fatores. Assim, x . (y + z) = (x . y) + (x . z).

Elemento neutro: O fator 1 (um) não altera o resultado dos demais fatores. O um é chamado "elemento neutro" da multiplicação. Assim, se x . y = z, logo x . y . 0 = z.

Elemento opositor: O fator -1 (menos um) transforma o produto em seu oposto. Assim, -1 . x = -x e -1 . y = -y, para y diferente de x.

Fechamento: O produto de dois números reais será sempre um número real.

Anulação: O fator 0 (zero) anula o produto. Assim, x . 0 = 0, e y . 0 = 0, com x diferente de y.

[editar] Notação

A multiplicação pode ser escrita de várias formas equivalentes. Todas as formas abaixo significam, "5 vezes 2":

$5\times 2$

$5\cdot2$

$(5)2,\ 5(2),\ (5)(2),\ 5[2],\ [5]2,\ [5][2]$

$5*2\$

O asterisco é usado frequentemente em computação pois em um símbolo existente em todos os tipos de teclado, mas não é usado quando escrevendo-se matemática à mão (A origem desta notação vem da linguagem de programação FORTRAN.) Frequentemente a multiplicação esta implícita na notação. Isto é o padrão em Álgebra, onde se usa formas como:

5 x

x y

O potencial de confusão que isto cria é grande já que não podemos ter variáveis com mais de um letra.

É possível se multiplicar um ou mais termos de uma vez. Se os termos não são escritos explicitamente, então o produto pode ser escrito com três pontinhos ... para marcar os termos que estão subentendidos, como em outras operações em série na soma.

Desta forma, o produto de todos os números naturais de 1 a 100 pode ser escrito como $1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100$ . Isto também pode ser escrito com as elipses (três pontinhos) no meio da linha e não embaixo, como $1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 99 \cdot 100$ .

De forma alternativa, como na adição o produto pode ser escrito usando-se um símbolo de produto, chamado produtório Π que é a letra Pi no alfabeto grego. Isto é definido como:

$\prod_{i=m}^{n} x_{i} := x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \cdots \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}.$

O subscrito é uma variável muda ( $i$ no nosso caso), o limite inferior é ( $m$ ) e o limite superior é $n$ .

Assim por exemplo:

$\prod_{i=2}^{6} \left(1 + {1\over i}\right) = \left(1 + {1\over 2}\right) \cdot \left(1 + {1\over 3}\right) \cdot \left(1 + {1\over 4}\right) \cdot \left(1 + {1\over 5}\right) \cdot \left(1 + {1\over 6}\right) = {7\over 2}.$

Podemos também considar produtos com um número infinito de termos; estes são chamados de produto infinito. Apenas como notação, basta substituir n acima por infinity o símbolo para (∞). Matematicamente, o produtório é definido para séries infinitas como o limite do produto dos $n$ primeiros termos, quando $n$ cresce sem limite. Isto é:

$\prod_{i=m}^{\infty} x_{i} := \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^{n} x_{i}.$