Os elementos
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Os Elementos é a principal obra de Euclides. Os Elementos (c. 300 a.C.), constitui um dos mais notáveis compêndios de Matemática de todos os tempos, com mais de mil edições desde o advento da imprensa. A primeira versão impressa de Os Elementos apareceu em Veneza em 1482. Foi uma tradução do árabe para o latim e serviu de livro-texto nas escolas por quase 2.000 anos. Têm sido - segundo George Simmons - “considerado como responsável por uma influência sobre a mente humana maior que qualquer outro livro, com exceção da Bíblia". Conta-se que o rei Ptolomeu, tendo folheado o manual, perguntou esperançosamente a Euclides se não havia um caminho mais suave para aprender Geometria. Lacônico, o matemático teria respondido: "Não há uma estrada real para a Geometria". Euclides não se preocupava com os aspectos práticos da Matemática, e sim com a sua fundamentação teórica. Destarte, dá para entender uma pequena história: — Mestre, para que serve a Geometria? – perguntou-lhe um discípulo. Euclides chama seu escravo: — Dê três moedas a este estudante, pois ele precisa ter lucro, com o que aprende!
Os Elementos são uma compilação metódica e ordenada de 465 proposições reunidas em 13 rolos de pergaminhos. Sua característica é o rigor das demonstrações, o encadeamento lógico dos axiomas, postulados, teoremas e a clareza na exposição. Sua proposta é uma Geometria dedutiva, despreocupada das limitações práticas, contrastando com a Geometria egípcia, de caráter intuitivo e fulcrada em problemas concretos.
São notáveis os principais axiomas (premissas universalmente verdadeiras) de Euclides: 1) duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si; 2) o todo é maior que a parte; 3) se iguais são somados (ou subtraídos) a iguais, os resultados permanecem iguais. Dos 13 capítulos em que se subdividem Os Elementos, os 6 primeiros tratam da Geometria Plana Elementar; os 3 seguintes, da Teoria dos Números, o capítulo X trata dos Incomensuráveis (números irracionais) e os 3 últimos, da Geometria no Espaço.
O capítulo XIII aborda exclusivamente as propriedades dos 5 sólidos regulares, denominados Poliedros de Platão. Lembramos que um poliedro (do grego poli (muitas) + edro (faces)) é um sólido cuja superfície é constituída de faces poligonais. O poliedro é regular se suas faces forem polígonos regulares. Há apenas 5 poliedros regulares: o tetraedro (4 faces triangulares), o cubo ou hexaedro (6 faces quadradas), o octaedro (8 faces triangulares), o dodecaedro (12 faces pentagonais) e o icosaedro (20 faces triangulares).
Faz-se oportuna a asserção de George Simmons: "A construção de poliedros regulares fornece um clímax soberbo à Geometria de Euclides, e alguns conjecturam que esse foi o propósito primeiro pelo qual Os Elementos foram escritos: o de glorificar os Poliedros de Platão". Na proposição 18, a última, o sábio prova que não pode haver um outro poliedro regular, além dos 5 mencionados.
