Teoria dos números

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Tradicionalmente, a teoria dos números é o ramo da matemática pura que se preocupa com as propriedades dos números inteiros e que envolve muitos problemas que são facilmente compreendidos mesmo por não-matemáticos. A disciplina veio a ocupar-se com uma classe mais vasta de problemas que surgiram naturalmente do estudo dos números inteiros. A teoria dos números pode ser subdividida em vários campos, de acordo com os métodos que são usados e das questões que são investigadas, a saber:

• Teoria elementar dos números: utiliza somente os métodos elementares da aritmética para a verificação e comprovação das propriedades essenciais do conjunto dos números inteiros e em particular as propriedades dos números primos;
• Teoria analítica dos números: utiliza a análise real e análise complexa, especialmente para estudar as propriedades dos números primos;
• Teoria algébrica dos números: utiliza álgebra abstrata e estuda os números algébricos;
• Teoria geométrica dos números: utiliza métodos geométricos, algébricos e analíticos;

[editar] Sobre a Teoria Elementar dos Números

Normalmente, o primeiro contacto com a Teoria dos Números é através da Teoria Elementar dos Números. Através desta disciplina podem ser introduzidas propriedades bastante interessantes e notáveis dos números inteiros, mas, que ao serem propostas como questões a serem resolvidas, ou teoremas a serem provados, são geralmente de difícil solução ou comprovação. Estas questões estão ligadas basicamente a três tipos de pesquisas, a saber:

1. Estudos específicos sobre as propriedades dos números primos;
2. Estudos envolvendo a pesquisa de algoritmos eficientes para a Aritmética Básica;
3. Estudos sobre a resolução de equações diofantinas;

Estas questões directamente ligadas ao estudo do conjunto dos números inteiros e o seu subconjunto: o conjunto dos números naturais.

A título de ilustração, alguns dos muitos problemas que podem ser focalizados nestas três áreas da Teoria Elementar dos Números são, a seguir, rapidamente comentados

[editar] Propriedades dos números primos

[editar] Teorema de Euclides

"Existe uma quantidade infinita de números primos"

[editar] Conjectura de Goldbach

"Pode-se exprimir os números pares, maiores que 2, como a soma de dois números primos?" Esta é a denominada

formulada em 1746 e até hoje não provada, apesar de ter sido verificada para números da ordem de 4*10^14.

Quantos números primos terminam com o dígito 7? Seriam infinitos? São 664579 os números primos menores que 10 milhões, sendo que os números primos que terminam em 1, 3, 7 e 9 respectivamente são 166104, 166230, 166211 e 166032, isto corresponde a 24.99%, 25.01%, 25.01% e 24.98% deste total de números. O que isto sugere?

Há infinitos pares de números denominados primos gêmeos: números primos que diferem um do outro de apenas duas unidades, como (3 ; 5), (71 ; 73) ou (1000000007; 1000000009)?

[editar] Algoritmos eficientes para a aritmética básica

Muitas das modernas aplicações que estão sendo levadas a efeito no campo da criptografia (codificação destinada a gerar, armazenar ou até mesmo transmitir — por exemplo, por telefonia ou mais especificamente pela Internet) — informações secretas ou confidenciais de forma segura, dependem de algumas das propriedades dos números inteiros e dos números primos. No entanto as aplicações aritméticas envolvendo as propriedades dos números inteiros estão directamente relacionadas à capacidade de se resolver dois problemas fundamentais:

1. o problema do teste para verificar se o número é primo;
2. o problema da decomposição em fatores primos;

Aparentemente são problemas de simples solução, até que passem a envolver numerais com dezenas e até centenas de dígitos.