Teoría de números
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Tradicionalmente, la teoría de números es la rama de matemáticas puras que estudia las propiedades de los números enteros y contiene una cantidad considerable de problemas que son "fácilmente comprendidos por los no matemáticos". De forma más general, este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros. Según los métodos empleados y las preguntas que se intentan contestar, la teoría de números se subdivide en varias ramas.
En la teoría elemental de números, se estudian los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas. Pertenecen a la teoría elemental de números las cuestiones de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los enteros como producto de números primos, la búsqueda de los números perfectos y las congruencias. Son enunciados típicos el pequeño teorema de Fermat y el teorema de Euler que lo extiende, el teorema chino del resto y la ley de la reciprocidad cuadrática. En esta rama se investigan las propiedades de las funciones multiplicativas como la función de Möbius y la función φ de Euler; así como las sucesiones de números enteros como los factoriales y los números de Fibonacci.
Conjeturas y teoremas relacionados con la teoría de números:
- Conjetura de Goldbach sobre si todos los números pares (a partir de 4) son la suma de dos números primos.
- Conjetura de los números primos gemelos sobre la infinitud de los llamados números primos gemelos
- Último teorema de Fermat (demostrado en 1995)
- Hipótesis de Riemann sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann, íntimamente conectada con el problema de la distribución de los números primos.
En la Teoría de Números Algebraica (Aritmética algebraica), el concepto de número es extendido para incluir a los números algebraicos, números que surgen como raíces de polinomios con coeficientes racionales. Éstos forman extensiones del campo de los números racionales que contienen elementos análogos a los enteros, llamados enteros algebraicos, en los que las propiedades familiares de los enteros (e.g. factorización única) ya no son necesariamente válidas. Las virtudes de la maquinaria empleada - teoría de Galois, cohomología de grupos, teoría de campos de clase, representaciones de grupos y funciones L - son las que permiten entender cuál es la estructura de esta nueva clase de números.
Muchas interrogantes aritméticas son atacadas mejor al estudiarlas módulo p para todo primo p. A ésta técnica se le denomina localización y lleva al estudio de los campos p-ádicos.
