Вариация функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математическом анализе вариацией функции из отрезка на вещественной прямой в $\mathbb{R}^n$ называется обобщение понятия длины кривой, задаваемой в $\mathbb{R}^n$ этой функцией.

Содержание

1 Формальное определение
2 Свойства функций ограниченной вариации
3 Вычисление вариации и длин кривых
- 3.1 Вариация непрерывно дифференцируемой функции
- 3.2 Длины кривых
4 Обобщения
5 См. также

[править] Формальное определение

Пусть $f: [a,b] \to \mathbb{R}^n$ . Тогда вариацией (или полным изменением) функции f на отрезке $[a, b]$ называется следующая величина:

$V_a^b f := \sup\limits_{P} \sum\limits_{k=0}^m ||f(x_{k+1}) - f(x_k)||$ ,

то есть точная верхняя грань по всем разбиениям отрезка $[a, b]$ длин ломаных в $\mathbb{R}^n$ , концы которых соответствуют значениям f в точках разбиения.

Функции, вариация которых ограничена на отрезке, называются функциями ограниченной вариации, а класс таких функций обозначается $V [a, b]$ . В таком случае определена функция $v(x) = V_a^x f$ , называющаяся функцией полной вариации для f.

[править] Свойства функций ограниченной вариации

Сумма и произведение функций ограниченной вариации тоже будет иметь ограниченную вариацию.
Если $a < x \leq y < b$ , а $f \in V[a, b]$ , то $V_a^x f + V_x^y f = V_a^y f$ .
Если функция f непрерывна в точке a справа и принадлежит $V [a, b]$ , то $\lim\limits_{x\to a{+}} v(x) = 0$ .
Функция $f (x)$ , заданная на отрезке $[a, b]$ , является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы возрастающей и убывающей функции на $[a, b]$ функций (разложение Жордана).
Всякая функция ограниченной вариации ограничена и может иметь не более чем счётное множество точек разрыва, причём все I рода.
Функция ограниченной вариации может быть представлена в виде суммы абсолютно непрерывной функции, сингулярной функции и функции скачков (разложение Лебега).

[править] Вычисление вариации и длин кривых

[править] Вариация непрерывно дифференцируемой функции

Если функция $f: [a, b] \to \mathbb{R}^n$ принадлежит классу $C 1$ , то есть имеет непрерывную производную первого порядка на отрезке $[a, b]$ , то f — функция ограниченной вариации на этом отрезке, а вариация вычисляется по формуле:

$\int\limits_a^b ||f'(x)||\, dx$ ,

то есть равна интегралу нормы производной.

[править] Длины кривых

Длиной кривой в $\mathbb{R}^n$ называется вариация задающего кривую отображения. Если это отображение имеет ограниченную вариацию, то говорят, что кривая спрямляема.

Выписанная выше формула для нахождения вариации позволяет найти формулы для вычисления длин кривых. Если кривая класса $C 1$ , то её длина равна:

В общем случае $\mathbb{R}^n$ — $\int\limits_a^b \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \left( f'_k (t) \right)^2} \, dt$ .
В $\mathbb{R}^3$ — $\int\limits_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}\, dt$ .
Если кривая задана в $\mathbb{R}^2$ как f(x), то длина равна $\int\limits_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2}\, dx$ .

[править] Обобщения

В случае нескольких, переменных существует несколько определений вариации функции, см. вариация Арцела, вариация Витали, вариация Пъерпонта, плоская вариация Тонелли, вариация Фреше, вариация Харди.

[править] См. также

Интеграл Римана — Стилтьеса
Аффинная длина
Курвиметр — прибор для измерения длин кривых на географических картах

Категория: Математический анализ