Кривая
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Кривая или линия — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно.
Содержание |
[править] Элементарная геометрия
В рамках элементарной геометрии понятие кривой не получает отчётливой формулировки и иногда определяется как «длина без ширины» или как «граница фигуры». По существу в элементарной геометрии изучение кривых сводится к рассмотрению примеров (прямая, отрезок, ломаная, окружность и др.). Не располагая общими методами, элементарная геометрия довольно глубоко проникла в изучение свойств конкретных кривых (конические сечения, некоторые алгебраические кривые высших порядков и также трансцендентные кривые), применяя в каждом случае специальные приемы.
[править] Параметрические определения
Чаще всего кривая определяется как непрерывное отображение из отрезка в пространство:
![\gamma:[a,b]\to X](../../../math/a/1/9/a198424df9949df08c8e4c125b74c5b6.png)
При этом, кривые могут быть даже если их образы совпадают. Такие кривые называют параметрическими кривыми или, если [a,b] = [0,1], путями.
Иногда кривая определяется с точностью до репараметризации, то есть отображения
![\gamma_1:[a_1,b_1]\to X](../../../math/e/4/d/e4dc362b365ed1ad1d17fd79b0ecefef.png)
и ![\gamma_2:[a_2,b_2]\to X](../../../math/5/8/e/58e1660ea9664b329c447836f7f780b1.png)
задают одну и ту же кривую, если существует непрерывная строго возрастающая функция h из отрезка [a1,b1] на отрезок [a2,b2], такая что
[править] Кривая Жордана
Существует большой соблазн определить кривую как образ непрерывного отображения отрезка в пространство.
Однако возможно построить такое непрерывное отображение отрезка в плоскость что его образ заполняют квадрат, например кривая Пеано. Более того, согласно теореме Мазуркевича, компактное связанное и локально связанное топологическое пространство является непрерывным образом отрезка. Таким образом, не только квадрат, но и куб любого числа измерений и даже гильбертов кирпич являются непрерывными образами отрезка.
Вышеизложенное показывает, что кривая не может быть определена как непрерывный образ отрезка, если на отображение не наложить дополнительных ограничений.
Так кривой Жордана называется образ непрерывного инъективного отображения окружности или отрезка в пространство. В случае окружности кривая называется замкнутой кривой Жордана, а в случае отрезка — жордановой дугой.
Следует отметить что кривая Жордана является довольно сложным объектом, например возможно построить плоскую кривую Жордана с ненулевой мерой Лебега.
[править] Аналитические определения
В аналитической геометрии кривая на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0. При этом на функцию F налогаются ограничения которые гарантируют, что
- это уравнение имеет бесконечное множество решений и,
- это множество решений не заполняло «куска плоскости».
[править] Алгебраические кривые
Важный класс кривых составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных. В этом случае кривая, определяемая уравнением F(x,y) = 0, называется алгебраической.
- Алгебраические кривые, задаваемые уравнением 1-й степени, суть прямые.
- Уравнение 2-й степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет квадрики, то есть вырожденные и не вырожденные конические сечения.
Алгебраические кривые, определяемые уравнениями высших степеней, рассматриваются в алгебраической геометрии. При этом бо́льшую стройность приобретает их теория, если рассмотрение ведется на комплексной проективной плоскости. В этом случае алгебраическая кривая определяется уравнением вида
- F(z1,z2,z3) = 0,
где F — однородный многочлен трех переменных, являющихся проективными координатами точек.
[править] Обобщённые кривые
Более общее определение кривой для случая плоскости было дано Кантором в 1870-e годы:
Канторовой кривой называется компактное связное подмножество плоскости, такое что его дополнение всюду плотно.
Важный пример канторовой кривой доставляет ковёр Серпиньского. Какова бы ни была канторова кривая L, она может быть вложена в ковёр Серпиньского, то есть в ковре Серпиньского содержится подмножество L', гомеоморфное L. Таким образом ковёр Серпиньского является универсальной плоской канторовой кривой.
В последствии это определение было обобщено Урысоном:
Кривой Урысона называется связное компактное топологическое пространство C топологической размерности 1.
Ковёр Серпиньского удовлетворяет этому определению, так что всякая канторова кривая является также и кривой Урысона. Обратно, если плоский связный компакт является кривой Урысона, то он будет канторовой кривой.
