Группа Ли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Предлагается объединить эту статью с Группа Ли/из Викиучебника. (Обсудить)

Гру́ппой Ли в математике называется группа, которая является также и гладким многообразием, причём групповые операции — гладкие отображения. Названы в честь Софуса Ли (Sophus Lie). Группы Ли естественно возникают при рассмотрении непрерывных симметрий. Например, движения плоскости образуют группу Ли. Группы Ли являются в смысле богатства структуры лучшими из многообразий и, как таковые, очень важны в дифференциальной геометрии и топологии. Они также играют видную роль в геометрии, физике и математическом анализе.

[править] Определения

Группой Ли над полем k (k=R или C) называется группа G, снабжённая структурой дифференцируемого многообразия над k, причём отображения mul и inv, определённые так:

,

являются дифференцируемыми.

[править] Типы групп Ли

Группы Ли классифицируются по своим алгебраическим свойствам (простоте, полупростоте, разрешимости, нильпотентности, абелевости), а также по топологическим свойствам (связности, односвязности и компактности).

[править] Гомоморфизмы и изоморфизмы

Пусть G и H — группы Ли над одним и тем же полем. Гомоморфизмом групп Ли называется отображение f : G → H, являющееся гомоморфизмом групп и одновременно гладким отображением многообразий. (Можно показать, что для выполнения последнего условия достаточно непрерывности f.) Композиция гомоморфизмов групп Ли снова будет гомоморфизмом групп Ли. Классы всех вещественных и всех комплексных групп Ли вместе с соответствующими гомоморфизмами образуют категории Lie_R и Lie_C. Гомоморфизм групп Ли называется изоморфизмом, если существует обратный. Две группы Ли, между которыми существует изоморфизм, как обычно в абстрактной алгебре, называются изоморфными, и как обычно, группы Ли различают лишь с точностью до изоморфизма. Например, группа Ли поворотов плоскости с операцией композиции и группа Ли комплексных чисел, равных по модулю единице, с операцией умножения изоморфны.

Гомоморфизм группы Ли G над полем k в группу GL(V) невырожденных линейных преобразований векторного пространства V над полем k называется представлением группы G в пространстве V'.

[править] Подгруппы Ли

Подгруппа H группы Ли G называется её подгруппой Ли, если она является подмногообразием в многообразии G, то есть найдётся m > 0, такое, что H задаётся в окрестности каждой своей точки p системой из k функций, имеющей в p ранг m. Не всякая подгруппа является подгруппой Ли: например, подгруппа пар вида (e^ix, e^{i\pi x}) в торе {(e^ix, e^iy), x, y из R} не является подгруппой Ли (она дает всюду плотную обмотку тора). Подгруппа Ли всегда замкнута.

Пусть H — подгруппа Ли группы Ли G. Множество G/H смежных классов (безразлично, левых или правых) можно единственным образом наделить структурой дифференцируемого многообразия так, чтобы каноническая проекция была дифференцируемым отображением. При этом получится локально тривиальное расслоение, и если H — нормальная подгруппа, то факторгруппа будет группой Ли.

[править] Действия групп Ли

Группы Ли часто выступают как симметрии какой-либо структуры на некотором многообразии, а потому естественно, что изучение действий групп Ли на различных многообразиях является важным разделом теории. Говорят, что группа Ли G действует на гладком многообразии M, если задан гомоморфизм групп a: G → Diff M, где Diff M — группа диффеоморфизмов M. Таким образом, каждому элементу g группы G должно соответствовать диффеоморфное преобразование a_g многообразия M, причём произведению элементов и взятию обратного элемента отвечают соответственно композиция диффеоморфизмов и обратный диффеоморфизм. Если из контекста ясно, о каком действии идёт речь, то образ a_g(m) точки m при диффеоморфизме, определяемом элементом g, обозначается просто gm.

Группа Ли естественно действует на себе левыми и правыми сдвигами, а также сопряжениями. Эти действия традиционно обозначаются l, r и a:

l_g(h) = gh,

r_g(h) = hg,

a_g(h) = h⁻¹gh.

Другим примером действия является действие группы Ли G на множестве смежных классов этой группы по какой-нибудь подгруппе Ли N ≤ G:

g (hN) = (gh)N,

Действие группы Ли G на дифференцируемом многообразии M называется транзитивным, если любую точку M можно перевести в любую другую посредством действия некоторого элемента G. Многообразие, на котором задано транзитивное действие группы Ли. называется однородным пространством этой группы. Однородные пространства играют важную роль во многих разделах геометрии. Однородное пространство группы G диффеоморфно G / st x, где st x — стабилизатор произвольной точки.

[править] Алгебра Ли группы Ли

Со всякой группой Ли можно связать некоторую алгебру Ли, которая полностью отражает локальную структуру группы, во всяком случае, если группа Ли связна.

Векторное поле на группе Ли G называется левоинвариантным, если оно коммутирует с левыми сдвигами, то есть

V(l_g^* f) = l_g^* (Vf) для всех g из G, и любой дифференцируемой функции f.

Эквивалентно,

dl_g (V_x) = V_gx для всех x, y из G.

Очевидно, любое левоинвариантное векторное поле V на группе Ли полностью определяется своим значением V_e в единице. Наоборот, задав произвольный вектор V в касательном пространстве G_e к единице, можно разнести его левыми сдвигами по всей группе. Получается взаимно однозначное соответствие между касательным пространством к группе в единице и пространством левоинвариантных векторных полей.

Скобка Ли [X,Y] левоинвариантных векторных полей будет левоинвариантным векторным полем. Поэтому G_e является алгеброй Ли. Эта алгебра называется алгеброй Ли группы G. Обычно она обозначается соответствующей малой готической буквой.

[править] Литература

• Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995
• Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.20. Группы Ли и алгебры Ли — 1. М.: ВИНИТИ. 1988
• Адамс Дж. Ф., Лекции по группам Ли, «Наука», 1979
• Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли, М.:Мир, 1969

Работа над статьёй продолжается