Абелева группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Абелева или коммутативная группа есть группа, в которой групповая операция является коммутативной. Название дано в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля (1802-1829), за его вклад в исследование групп преобразований.

Конечнопорождённые абелевы группы изоморфны произведениям циклических групп. Конечные абелевы группы изоморфны произведениям конечных циклических групп.

[править] Примеры

Любое кольцо является коммутативной(абелевой) группой по своему сложению. В том числе и вещественные числа с операцией сложения.
Обратимые элементы коммутативного кольца образуют абелеву группу по умножению. Например, вещественные числа, не равные нулю, с операцией умножения.
Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
Любая циклическая группа G является коммутативной(абелевой), потому что для любых x и y из G верно, что xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx. В частности целые числа Z образуют коммутативную группу по сложению, также как и вычеты по модулю Z/nZ.

[править] Свойства

Пусть n - натуральное число, а x - элемент коммутативной группы G, с операцией, обозначаемой сложением, тогда nx можно определить как x + x + … + x (n раз) и (−n)x = −(nx). Таким образом, G становится модулем над кольцом Z целых чисел. В действительности модули над Z однозначно задаются абелевыми группами.

Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп(то есть модулей над кольцом главных идеалов Z), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольным кольцом главных идеалов. Типичным примером является классификация конечнопорожденных абелевых групп.

Пусть f, g : G → H - гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма f + g, заданная как (f + g)(x) = f(x) + g(x), тоже является гомоморфизмом. (Это неверно, если H некоммутативная группа). Тем самым множество Hom(G, H) всех групповых гомоморфизмов из G в H само становится абелевой группой.

По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определён как мощность максимального линейно-независимого подмножества группы. Целые и рациональные числа имеют ранг один, также как и любая их подгруппа. В то время как абелевы группы ранга один без элементов бесконечного порядка хорошо изучены, то даже группы конечного порядка изучены плохо. Абелевы группы бесконечного порядка могут быть устроены очень сложно и вызывают много нерешённых вопросов, зачастую привязанных к вопросам теории множеств.

[править] Конечные абелевы группы

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямое произведение своих циклических подгрупп порядков являющихся степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда 'G' не имеет элементов бесконечного порядка. Z_mn изоморфно произведению Z_m и Z_n тогда и только тогда когда m и n взаимнопросты. Следовательно, можно записать абелеву группу G в форме прямого произведения

$\mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u}$

двумя различными способами:

Где числа k₁,…,k_u степени простых
Где k₁ делит k₂, который делит k₃ и так далее до k_u.

Например, Z/15Z = Z/15 может быть разложено в прямое произведение двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: Z/15 = {0, 5, 10} ⊕ {0, 3, 6, 9, 12}. То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать, приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.