Линейное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство, является обобщением понятия совокупности всех векторов 3-мерного пространства. Линейные пространства — основной объект изучения линейной алгебры.

[править] Определение

Линейное, или векторное пространство над полем P — это множество L, на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и
2. умножения на скаляр (т.е. элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствии элемент из , обозначаемый .

При этом удовлетворяются следующие условия:

1. , для любых (коммутативность сложения);
2. , для любых (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента), в частности L не пусто;
4. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента).
5. (ассоциативность умножения на скаляр);
6. .
7. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения);
8. (дистрибутивность сложения относительно умножения на скаляр).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами.

[править] Простейшие свойства

1. Нейтральный элемент является единственным.
2. для любого .
3. Для любого противоположный элемент является единственным.
4. для любого .
5. для любых и .

[править] Связанные определения и свойства

• Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество P линейного пространства L такое, что P само является линейным пространством по отношению к определенным в E действиям сложения и умножения на скаляр.
• Конечная сумма вида

называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .

• Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
• Элементы называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация (1), равная элементу . В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
  • Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
• Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом.
• Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.
• Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

.

[править] Примеры

• Пространство функций образует векторное пространство размерности равной мощности X.
• поле вещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.

[править] Дополнительные структуры

• нормированное пространство
• топологическое линейное пространство
• евклидово пространство.

[править] См. также

• Линейный оператор
• Сопряжённое пространство
• Выпуклый функционал

[править] Ссылки

• Векторное пространство