Espaço vetorial

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Um dos conceitos básicos em álgebra linear é o de espaço vetorial ou espaço linear.

A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, juntamente com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a idéia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto de elementos e duas operações definidas sobre os elementos deste conjunto, adição e multiplicação por números reais. A multiplicação por reais pode ser trocada ainda por algo mais geral como mostrado a seguir.

Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. Polinômios de grau menor que n formam um espaço vetorial, por exemplo, assim como grupos de matrizes NxM e o espaço de todas as funções de um conjunto em outro (com algumas condições adicionais).

Índice

1 Definição
- 1.1 Terminologia
- 1.2 Tipos de Espaços Vetoriais
2 Veja também

[editar] Definição

Um espaço vetorial é uma entidade formada dos seguinte elementos:

Um corpo F, ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. cujos elementos farão o papel dos escalares. Os números reais são um exemplo de corpo.
Um conjunto V dotado de uma operação binária (representada aqui pelo sinal +) de $V \times V \rightarrow V$ . Os elementos de V serão chamados de vetores.
Uma operação . de $F \times V \rightarrow V$ .

Observação: na definição acima e nas propriedades abaixo, estão sendo usados símbolos de soma (+) e produto (.) para representar, em cada caso, duas funções distintas: a + b para elementos de F não é o mesmo que a + b para elementos de V, assim como a . b para elementos de F não é o mesmo que a . b quando $a \in F$ e $b \in V$ . Caso possa haver confusão, recomenda-se o uso de símbolos diferentes para essas operações, por exemplo usar $(+, \times)\,$ para as operações de F e $(\oplus, \otimes)\,$ para as operações de V x V -> V e F x V -> V. Neste caso, costuma-se dizer que o espaço vetorial é a sêxtupla ordenada (a generalização de par ordenado, mas com 6 elementos) $(V, F, \oplus, \otimes, +, \times)\,$ .

As seguintes regras devem valer para que os elementos acima constituam um espaço vetorial:

(u+v)+w=u+(v+w) para todo u,v,w em V (associatividade)
u+v = v+u para todo u,v em V (comutatividade)
Há um elemento O de V, tal que u+O=u para todo u em V (elemento neutro)
Para todo elemento v de V há um elemento u tal que v+u=O (elemento inverso)
a.(b.u)=(a.b).u para a,b em F e u em V
Se 1 é a unidade de F, 1.u=u para u em V
a.(u+v)= a.u+a.v para a em F u,v em V
(a+b).u= a.u+b.u para a,b em F e u em V

As definições de 1 a 4 mostram que com relação a operação de adição um espaço vetorial é um grupo abeliano.

O conceito de espaço vetorial (e os vetores como seus elementos) é inteiramente abstrato, como os conceitos de grupos, anéis, corpos, etc. Para determinar se um conjunto V é um espaço vetorial, temos apenas que especificar o conjunto, o corpo F, e definir adição em V e multiplicação por escalar em V. Então se V satisfizer as condições acima ele será um espaço vetorial sobre o corpo F.

[editar] Terminologia

Um espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$ , o conjuntos dos números reais, é chamado espaço vetorial real.
Um espaço vetorial sobre $\mathbb{C}$ , o conjuntos dos números complexos, é chamado espaço vetorial complexo.
Um espaço vetorial com um conceito definido de comprimento, isto é uma norma definida, é chamado espaço vetorial normado.