Вещественное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Веще́ственные или действи́тельные числа могут быть интуитивно определены как числа, описывающие положение точек на прямой.

Множество вещественных чисел обозначается $\R$ и часто назвается вещественной прямой. Относительно операций сложения и умножения вещественные числа образуют поле.

[править] Примеры чисел

Рациональные числа — 32, 36/29.
Иррациональные числа — Пи, $\sqrt 2$ .

[править] Определения

Существует несколько стандартых путей определения вещественных чисел:

[править] Аксиоматическое определение

См. основную статью Аксиоматика вещественных чисел.

Вещественные числа $\mathbb{R}$ можно определить как полное упорядоченное поле, то есть поле с отношением ≤ которое удовлетворяет следующим аксиомам:

Отношение ≤ является полным порядком:
- Для любых a, b $\in\mathbb{R}$ a≤b или b≤a;
- Если a≤b и b≤a, то a=b для любых a, b $\in\mathbb{R}$ ;
- Если a≤b и b≤c, то a≤c для любых a, b, c $\in\mathbb{R}$ ;
- Пусть A,B⊂ $\mathbb{R}$ такие, что a≤b для любых a∈A и b∈B, тогда существует c∈ $\mathbb{R}$ такое, что a≤c≤b для любых a∈A и b∈B.
Порядок согласован со структурой поля:
- Если a≤b, то a+c≤b+c для любых a, b, c∈ $\mathbb{R}$ ;
- Если 0≤a и 0≤b, то 0≤ab для любых a, b∈ $\mathbb{R}$ ;

При этом для любого множества ${x k}$ такого, что все $x_k \le A$ для некоторого $A\in\mathbb{R}$ , существует точная верхняя грань, то есть число $X\in\mathbb{R}$ такое, что

$\forall k\;x_k\le X$
Если для некоторого $Y\in\mathbb{R}$ $\forall k\;x_k\le Y$ , то $X\le Y$ .

Эти аксиомы задают вещественные числа единственным образом, т. е. любые два поля с отношением порядка, удовлетворяющим этим аксиомам, изоморфны.

[править] Пополнение рациональных чисел

Вещественные числа $\Bbb{R}$ могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел $\Bbb{Q}$ по отношению к обычной метрике $d(r,q)=|r-q|\,\!$ .

Более точно, рассмотрим все фундаментальные последовательности рациональных чисел $\{r_i\}\,\!$ . На таких последовательностях можно естественным образом ввести арифметические операции: $\{r_i\} + \{q_i\} = \{r_i + q_i\}\,\!$ и $\{r_i\} \cdot \{q_i\} = \{r_i \cdot q_i\}$ .

Две такие последовательности $\{r_i\}\,\!$ и $\{q_i\}\,\!$ считаются эквивалентными $(\{r_i\} \sim \{q_i\})$ , если $|r_i-q_i|\to 0$ при $i\to \infty$ .

Множество вещественных чисел можно определить как классы эквивалентности этих последовательностей.

[править] Дедекиндовы сечения

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$ на два подмножества $A\,\!$ и $B\,\!$ такие, что:

$a\le b$ для любых $a\in A$ и $b\in B$ ;
$B\,\!$ не имеет минимального элемента.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений, на которых некоторым образом определяются операции сложения и умножения. Например, вещественному числу $\sqrt 2$ соответствует дедекиндово сечение, определяемое $A=\{x\in \mathbb Q|x<0\$ или $\ x^2\le 2 \}\$ и $\ B=\{x\in \mathbb Q|x>0$ и $x^2> 2 \}\,\!$

[править] Бесконечные десятичные дроби

Как правило, такое задание практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.

Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида $\pm d_{-k} d_{-k+1}\dots d_{0}, d_{1} d_{2} \dots$ , где $d_i\,\!$ являются десятичными цифрами, то есть $0\leq d_i< 10$ .

Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид $d 9 9 9\dots$ и $(d+1) 0 0 0\dots$ , где $0\leq d\leq 8$

Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.

Значение десятичной дроби формально задается суммой ряда $\pm\sum_{i=-k}^{\infty} d_i\cdot 10^{-i}$ .

[править] Ссылки

Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.

Числа