Неравенство Коши — Буняковского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Нера́венство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца, хотя работы Шварца (Schwarz) на эту тему появились только спустя 25-50 лет после работ Буняковского (1859). Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

[править] Формулировка

Пусть дано линейное пространство $L$ со скалярным произведением $\langle \cdot, \cdot \rangle$ . Пусть $\|\cdot\|$ - норма, порождённая скалярным произведением, то есть $\|x\| \equiv \sqrt{\langle x, x \rangle},\; \forall x \in L$ . Тогда для любых $x,y\in L$ имеем

$|\langle x, y\rangle| \le \|x\| \cdot \|y\|$ .

[править] Примеры

В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей $l 2$ неравенство Коши - Буняковского имеет вид:

$\left| \sum\limits_{k=1}^{\infty} x_k \bar{y}_k \right| ^2 \le \left( \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^{\infty} |y_k|^2 \right)$ ,

где $\bar{y}_k$ обозначает комплексное сопряжение

y k

В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций $L^2(X,\mathcal{F},\mu)$ неравенство Коши - Буняковского имеет вид:

$\left|\int\limits_X f(x)\overline{g(x)}\,\mu(dx)\right|^2\leq \left(\int\limits_X \left|f(x)\right|^2\,\mu(dx)\right) \cdot \left(\int\limits_X\left|g(x)\right|^2\,\mu(dx)\right)$ .