Z-преобразование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Z-преобразованием называют преобразование исходного временно́го сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел, в комплекснозначную последовательность частот.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Двустороннее Z-преобразование
- 1.2 Одностороннее Z-преобразование
2 Обратное Z-преобразование
3 Область сходимости
4 Таблица некоторых Z-преобразований
5 См. также
6 Ссылки

[править] Определение

Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее

[править] Двустороннее Z-преобразование

Двустороннее Z-преобразование X(z) дискретного временного сигнала x[n] задаётся как:

$X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \$

где n — целое, z — комплексное число.

$z = A e j φ$

где A — амплитуда, а φ угловая частота ( в радианах )

[править] Одностороннее Z-преобразование

В случаях, когда x[n] определена только для n ≥ 0, одностороннее Z-преобразование задаётся как:

$X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} \$

[править] Обратное Z-преобразование

Обратное Z-преобразование определяется как:

$x[n] = Z^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz \$

где $C \$ — контур, охватывающий область сходимости $X(z) \$ . Контур должен содержать все вычеты $X(z) \$ .

[править] Область сходимости

Область сходимости представляет из себя некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых выполнено условие: $OC = \{z : \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} < \infty\}\$

то есть сумма по членам преобразования является конечной.

[править] Таблица некоторых Z-преобразований

	Сигнал, $x [n]$	Z-преобразование, $X (z)$	Область сходимости
1	$\delta[n] \,$	$1\,$	$\forall z\,$
2	$\delta[n-n_0] \,$	$\frac{1}{z^{n_0}}$	$\forall z\,$
3	$u[n] \,$	$\frac{z}{z-1}$	$\|z\| > 1\,$
4	$a^n u[n] \,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$\|z\| > \|a\|\,$
5	$n a^n u[n] \,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$\|z\| > \|a\|\,$
6	$-a^n u[-n-1] \,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$\|z\| < \|a\|\,$
7	$-n a^n u[-n-1] \,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$\|z\| < \|a\|\,$
8	$\cos(\omega_0 n) u[n] \,$	$\frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$\|z\| >1\,$
9	$\sin(\omega_0 n) u[n] \,$	$\frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$\|z\| >1\,$
10	$a^n \cos(\omega_0 n) u[n] \,$	$\frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$\|z\| > \|a\|\,$
11	$a^n \sin(\omega_0 n) u[n] \,$	$\frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$\|z\| > \|a\|\,$