Cálculo vectorial

Vector cálculo (también llamado análisis vectorial) es un campo de las matemáticas que se trate con multivariante análisis real de vectores en una espacio de producto interno de dos o más dimensiones (algunos resultados - los que implican el producto cruzado - sólo pueden ser aplicados a las tres dimensiones). Consiste en un conjunto de fórmulas y técnicas de resolución de problemas muy útiles para la ingeniería y la física . Análisis vectorial tiene su origen en análisis cuaternión, y fue formulado por el ingeniero y científico estadounidense J. Willard Gibbs y el ingeniero británico Oliver Heaviside.

Cálculo vectorial se ocupa de campos escalares, que asocian un escalar a cada punto del espacio, y campos de vectores, que asocian un vector a cada punto del espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de la temperatura. El flujo de agua en el mismo grupo es un campo de vectores: a cada punto asociamos un vector de velocidad.

Operaciones con vectores

Estudios de cálculo vectorial diversos operadores diferenciales definidas en campos escalares o vectoriales, que se expresan normalmente en términos de la del operador ( ). Las cuatro operaciones más importantes de cálculo vectorial son:

Operación	Notación	Descripción	Dominio / Cocina
Gradiente		Mide la velocidad y la dirección del cambio en un campo escalar.	Mapas campos escalares a campos vectoriales.
Curl		Mide la tendencia a girar alrededor de un punto en un campo vectorial.	Mapas campos vectoriales a los campos vectoriales.
Divergencia		Mide la magnitud de una fuente o sumidero en un punto dado en un campo vectorial.	Mapas campos vectoriales a campos escalares.
Laplaciano		Una composición de las operaciones de divergencia y gradiente.	Mapas campos escalares a campos escalares.

Una cantidad llamada la Jacobiano es útil para estudiar las funciones cuando tanto el dominio y el rango de la función son multivariable, tales como un cambio de variables durante la integración.

Teoremas

Del mismo modo, hay varios teoremas importantes relacionados con estos operadores que generalizan el teorema fundamental del cálculo de dimensiones superiores:

Teorema	Declaración	Descripción
Teorema de degradado		La integral de línea a través de un gradiente de campo (vector) es igual a la diferencia en su campo escalar en los extremos de la curva .
Teorema de Green		La integral de la curvatura escalar de un campo vectorial sobre alguna región en el plano es igual a la integral de línea del campo vectorial sobre la curva que delimita la región.
El teorema de Stokes		La integral de la curvatura de un campo vectorial sobre una superficie es igual a la integral de línea del campo vectorial sobre la curva que limita la superficie.
Teorema de la divergencia		La integral de la divergencia de un campo vectorial sobre un poco de sólido es igual a la integral de la flujo a través de la superficie que delimita el sólido.

El uso del cálculo vectorial puede requerir el uso de las manos de la sistema de coordenadas que deben tenerse en cuenta (véase el producto cruz y la prepotencia para más detalles). La mayoría de los resultados analíticos son fáciles de entender, en una forma más general, el uso de la maquinaria de la geometría diferencial , de los cuales cálculo vectorial forma un subconjunto.