Demi-vie

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Nombre de Les demi-vies passé	Fraction restant	Pourcentage restant
0	_^1/1	100
1	_^2.1	50
2	_^1/4	25
3	_^1/8	12	0,5
4	_^16/1	6	0,25
5	_^1/32	3	0,125
6	_^1/64	1	0,563
7	_^1/128	0	0,781
...	...	...
n	_{^{2.1 N}}	100 / (2 ⁿ⁾

La demi-vie (t _½) est le temps nécessaire pour une quantité de tomber à la moitié de sa valeur mesurée au début de la période de temps. En physique, il est généralement utilisé pour décrire une propriété de la désintégration radioactive, mais peut être utilisé pour décrire ne importe quelle quantité qui va suivre d'un décroissance exponentielle.

Le terme original, datant de Ernest Rutherford découverte de l 'du principe en 1907, était "demi-vie", qui a été raccourci à "demi-vie" dans les années 1950.

La demi-vie est utilisé pour décrire une quantité de subir une dégradation exponentielle et est constante sur la durée de vie de la quantité de décomposition. C'est un unité caractéristique de l'équation de décroissance exponentielle. Le terme "demi-vie" peut être générique utilisé pour désigner une période de temps dans laquelle une quantité diminue de moitié, même si la carie ne est pas exponentielle. Pour une introduction générale et la description de décroissance exponentielle, voir décroissance exponentielle. Pour une introduction générale et une description de la carie non exponentielle, voir loi de vitesse.

L'inverse de la demi-vie est temps de doublement.

Le tableau de droite montre la réduction d'une quantité en termes de nombre de demi-vies écoulées.

Nature probabiliste de la demi-vie

Simulation de nombreux atomes identiques subissant la décroissance radioactive, en commençant par soit 4 atomes par boîte (à gauche) ou 400 (droite). Le nombre en haut est le nombre de demi-vies se sont écoulés. Notez le loi des grands nombres: Avec plusieurs atomes, la décroissance globale est plus régulière et plus prévisible.

Une demi-vie décrit habituellement le déclin des entités discrètes, tels que des atomes radioactifs, qui ont des noyaux instables. Dans ce cas, il ne fonctionne pas à utiliser la définition de «demi-vie est le temps nécessaire pour exactement la moitié des entités de la corruption». Par exemple, se il n'y a qu'un seul atome radioactif avec une demi-vie de une seconde, il n'y aura pas "une moitié d'un atome" gauche après une seconde. Il y aura soit zéro atomes gauche ou une gauche atome, selon si oui ou non cet atome qui se est passé à la pourriture.

Au lieu de cela, la demi-vie est définie en termes de probabilité . Ce est le moment où le valeur attendue du nombre d'entités qui ont cariées est égal à la moitié du nombre d'origine. Par exemple, on peut commencer avec un seul atome radioactif, attendez sa demi-vie, et puis vérifier si oui ou non il se est désintégré. Peut-être qu'il a fait, mais peut-être qu'il n'a pas fait. Mais si cette expérience est répétée à plusieurs reprises, on voit que - en moyenne - il se désintègre à l'intérieur de la demi-vie de 50% du temps.

Dans certaines expériences (comme la synthèse d'un élément super-lourd), il est en fait un seul atome radioactif produit à la fois, avec sa durée de vie mesurée individuellement. Dans ce cas, l'analyse statistique est nécessaire de déduire la demi-vie. Dans d'autres cas, un très grand nombre d'atomes radioactifs identiques décroissance dans la plage de temps mesuré. Dans ce cas, la loi des grands nombres se assure que le nombre d'atomes qui en fait la décomposition est approximativement égal au nombre d'atomes qui sont attendus à la pourriture. En d'autres termes, avec un assez grand nombre d'atomes en décomposition, les aspects probabilistes du processus pourraient être négligés.

Il ya divers exercices simples qui démontrent décroissance probabiliste, par exemple impliquant retournement des pièces de monnaie ou de diriger une statistique Programme d'ordinateur. Par exemple, l'image sur la droite est une simulation de nombreux atomes identiques subissant la décroissance radioactive. Notez que, après une demi-vie, il ne est pas exactement la moitié des atomes restants, seulement environ, en raison de la variation aléatoire dans le processus. Cependant, avec plusieurs atomes (boîtes à droite), la décroissance globale est plus lisse et moins aléatoire prospectifs qu'avec moins d'atomes (boîtes à gauche), conformément à la loi des grands nombres.

Formules pour la demi-vie en décroissance exponentielle

Un processus de décroissance exponentielle peut être décrit par l'une des trois formules équivalentes suivantes:

$N (t) = N_0 \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ {t / t_ {1/2}}$

$N (t) = N_0 e ^ {- t / \ tau} \,$

$N (t) = N_0 e ^ {- \ lambda t} \,$

où

N ₀ est la quantité initiale de la substance qui va se dégrader (cette quantité peut être mesurée en grammes moles, le nombre d'atomes de carbone, etc.),
N (t) est la quantité qui reste immobile et ne est pas encore décomposés après un temps t,
t _1/2 est la demi-vie de la quantité de décomposition,
τ est un nombre positif appelé durée de vie de la quantité de décomposition signifie,
λ est un nombre positif appelé constante de désintégration de la quantité de décomposition.

Les trois paramètres $t_ {1/2}$ , $\ Tau$ Et λ sont tous directement liés de la manière suivante:

$t_ {1/2} = \ frac {\ ln (2)} {\ lambda} = \ tau \ ln (2)$

où ln (2) est le logarithme naturel de 2 (environ 0,693).

Cliquez sur "show" de voir un calcul détaillé de la relation entre la demi-vie, temps de décroissance, et constante de désintégration.

Commencez par les trois équations

$N (t) = N_0 \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ {t / t_ {1/2}}$

$N (t) = N_0 e ^ {- t / \ tau}$

$N (t) = N_0 e ^ {- \ lambda t}$

Nous voulons trouver une relation entre $t_ {1/2}$ , $\ Tau$ Et λ, de telle sorte que ces trois équations décrivent exactement le même processus de décroissance exponentielle. En comparant les équations, nous trouvons la condition suivante:

$\ Left (\ frac {1} {2} \ right) ^ {t / t_ {1/2}} = e ^ {- t / \ tau} = e ^ {- \ lambda t}$

Ensuite, nous prendrons le logarithme naturel de chacun de ces quantités.

$\ En \ left (\ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ {t / t_ {1/2}} \ right) = \ ln (e ^ {- t / \ tau}) = \ ln (e ^ {- \ lambda t})$

En utilisant les propriétés des logarithmes, ce qui simplifie de ce qui suit:

$(T / t_ {1/2}) \ En \ left (\ frac {1} {2} \ right) = (-t / \ tau) \ ln (e) = (- \ lambda t) \ ln (e )$

Depuis le logarithme naturel de e est 1, on obtient:

$(T / t_ {1/2}) \ En \ left (\ frac {1} {2} \ right) = -t / \ tau = - \ lambda t$

Annulation du facteur de t et de brancher $\ En \ left (\ frac {1} {2} \ right) = - \ ln 2$ , Le résultat final est:

$t_ {1/2} = \ tau \ ln 2 = \ frac {\ ln 2} {\ lambda}.$

En branchant et manipuler ces relations, nous obtenons toutes les descriptions équivalentes suivantes de décroissance exponentielle, en termes de demi-vie:

$N (t) = N_0 \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ {t / t_ {1/2}} = N_0 2 ^ {- t / t_ {1/2}} = N_0 e ^ {-t \ ln (2) / t_ {2.1}}$

$t_ {1/2} = t / \ log_2 (N_0 / N (t)) = t / (\ log_2 (N_0) - \ log_2 (N (t))) = (\ log_ {2} ^ t (N_0 / N (t))) ^ {- 1} = T \ ln (2) / \ ln (N_0 / N (t))$

Indépendamment de la façon dont ce est écrit, nous pouvons brancher sur la formule pour obtenir

$N (0) = N_0$ comme prévu (ce est la définition de «quantité initiale")
$N (t_ {1/2}) = \ left (\ frac {1} {2} \ right) N_0$ comme prévu (ce est la définition de demi-vie)
$\ {Lim_ t \ to \ infty} N (t) = 0$ , Ce est à dire montant se rapproche de zéro lorsque t tend vers l'infini comme prévu (plus nous attendons, moins les restes).

Decay par plusieurs procédés

Certaines quantités décroissance exponentielle par deux processus de désintégration simultanément. Dans ce cas, la demi-vie effective T _1/2 peut être liée à la demi-vie t ₁ et t ₂ que la quantité auraient si chacun des processus de désintégration a agi de façon isolée:

$\ Frac {1} {{1/2} T_} = \ frac {1} {} t_1 + \ frac {1} {} t_2$

Pendant trois ou plusieurs processus, la formule est analogue:

$\ frac {1} {{T_ 1/2}} = \ frac {1} {} t_1 + \ frac {1} {} t_2 + \ frac {1} {} + \ t_3 cdots$

Pour une preuve de ces formules, voir Decay par deux ou plusieurs processus.

Exemples

Il ya une demi-vie décrivant tout processus exponentiel désintégration. Par exemple:

Le courant circulant à travers un Circuit RC ou Circuit RL se désintègre avec une demi-vie de $RC \ ln (2)$ ou $\ Ln (2) L / R$ Respectivement. Pour cet exemple, le terme la mi-temps pourrait être utilisé à la place de «demi-vie», mais ils veulent dire la même chose.
Dans un premier ordre réaction chimique , la demi-vie du réactif est $\ Ln (2) / \ lambda$ Où λ est la vitesse de réaction constante.
En désintégration radioactive, la demi-vie est la longueur de temps après lequel il ya une probabilité de 50% qu'un atome aura subi nucléaire décroissance. Elle varie en fonction du type d'atome et des isotopes , et est généralement déterminée expérimentalement. Voir Liste des nucléides.

la demi-vie d'une espèce est le temps nécessaire pour que la concentration de la substance à tomber à la moitié de sa valeur initiale

Demi-vie dans la carie non exponentielle

La décroissance de nombreuses grandeurs physiques ne sont pas exemple exponentielle pour l'évaporation de l'eau d'une flaque d'eau, ou (souvent) la réaction chimique d'une molécule. Dans de tels cas, la demi-vie est défini de la même manière que précédemment: comme le temps écoulé avant la moitié de la quantité initiale se est désintégrée. Cependant, contrairement à une décroissance exponentielle, la demi-vie dépend de la quantité initiale, et la demi-vie prospective va changer au fil du temps que la quantité se désintègre.

A titre d'exemple, la désintégration radioactive de carbone-14 est exponentielle avec une demi-vie de 5730 ans. Une quantité de carbone-14 se désintègre à la moitié de son montant initial ( sur moyenne ) après 5730 années, quel que soit grand ou petit la quantité initiale était. Après encore 5730 années, un quart de l'original restera. D'autre part, le temps qu'il faudra une flaque d'eau à moitié-évaporer dépend de la profondeur de la flaque d'eau est. Peut-être une flaque d'une certaine taille se évapore à la moitié de son volume initial en une journée. Mais le deuxième jour, il n'y a aucune raison de se attendre à ce que le quart de la flaque restera; en fait, il sera probablement beaucoup moins. Il se agit d'un exemple dans lequel la demi-vie diminue à mesure que le temps passe. (En d'autres désintégrations non exponentielles, il peut augmenter la place).

La désintégration d'un mélange de deux ou plusieurs matériaux qui chaque désintégration exponentielle, mais avec des demi-vies, ne est pas exponentielle. Mathématiquement, la somme de deux fonctions exponentielles ne est pas une fonction exponentielle simple. Un exemple courant d'une telle situation sont les déchets des centrales nucléaires, qui est un mélange de substances très différentes avec des demi-vies. Considérons un échantillon contenant un élément A décomposition rapide, avec une demi-vie de 1 seconde, et un élément B décroissant lentement, avec une demi-vie d'un an. Après quelques secondes, presque tous les atomes de l'élément A ont décru après division par deux répétée du nombre total initial d'atomes; mais très peu des atomes de l'élément B aura encore cariées que seule une infime fraction d'un demi-vie se est écoulée. Ainsi, le mélange dans son ensemble ne se dégrade pas par moitiés.

Demi-vie dans la biologie et la pharmacologie

Un demi-vie biologique ou demi-vie d'élimination est le temps qu'il faut à une substance (drogue, nucléide radioactif ou autre) de perdre la moitié de sa pharmacologique, physiologique, ou d'une activité radiologique. Dans un contexte médical, la demi-vie peut également décrire le temps qu'il faut pour que la concentration en le plasma sanguin d'une substance pour atteindre la moitié de sa valeur en régime permanent (la "demi-vie plasmatique").

La relation entre les demi-vies biologiques et de plasma d'une substance peut être complexe, en raison de facteurs, dont l'accumulation dans tissus, actif métabolites, et interactions récepteur.

Alors un isotope radioactif se désintègre presque parfaitement selon soi-disant «cinétique de premier ordre», où la constante de vitesse est un nombre fixe, l'élimination d'une substance par un organisme vivant suit généralement la cinétique chimique plus complexes.

Par exemple, la demi-vie biologique de l'eau dans un être humain est d'environ 7 à 14 jours, bien que cela puisse être modifiée par son / son comportement. La demi-vie biologique de césium des êtres humains est comprise entre un et quatre mois. Cela peut être raccourcie en alimentant la personne le bleu de Prusse, qui agit comme un solide échangeur d'ions qui absorbe le césium tout en libérant de potassium ions à leur place.

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