Limite de Roche

Considérons une masse en orbite autour de fluide maintenues ensemble par la gravité, ici vue de dessus du plan de l'orbite. Loin de la Roche de limiter la masse est pratiquement sphérique.

Plus près de la Roche limiter le corps est déformé par les forces de marée.

Dans le Roche limiter propre gravité de la masse ne peut plus résister aux forces de marée, et le corps se désintègre.

Les particules plus étroits au déménagement primaire plus rapidement que les particules plus loin, telle que représentée par les flèches rouges.

La vitesse orbitale variable de la matière elle provoque finalement pour former un cycle.

La limite de Roche ( / ʁoʃ /), parfois désigné sous le rayon Roche, est la distance à l'intérieur duquel un corps céleste, maintenus ensemble uniquement par sa propre gravité , se désintégrer en raison de son un deuxième corps céleste les forces de marée gravitationnelle dépassant auto-activité de la première instance. L'intérieur de la limite de Roche, matériau orbite aura tendance à se disperser et de la forme des anneaux, tandis qu'à l'extérieur de la limite, le matériel aura tendance à fusionner. Le terme est nommé d'après Édouard Roche, le Français astronome qui le premier a calculé cette limite théorique en 1848.

Explication

Typiquement, la limite de Roche se applique à un désintégration par satellite en raison de la force des marées induites par son primaire, le corps autour duquel il orbites. Pièces du satellite qui sont plus près de la primaire sont attirés par gravité plus forte de la primaire, alors que les parties plus loin sont repoussés par plus fort la force centrifuge de l'orbite du satellite incurvée. Certains satellites réels, à la fois naturel et artificielle, peut en orbite dans leurs limites Roche parce qu'ils sont maintenus ensemble par des forces autres que la gravitation. Jupiter moon s ' Métis et Saturne lune de Pan sont des exemples de ces satellites, qui détiennent ensemble en raison de leur résistance à la traction (ce qui signifie qu'ils sont solides et pas facilement tiré à part). Dans les cas extrêmes, des objets reposant sur la surface d'un tel satellite pourrait effectivement être levées loin par les forces de marée. Un satellite plus faible, comme une comète , pourrait être brisé lors de son passage à l'intérieur de sa limite de Roche.

Depuis que les forces de marée submerger la gravité qui pourrait tenir le satellite ensemble dans la limite de Roche, aucun grand satellite peut fusionner gravitationnellement sur les petites particules à l'intérieur de cette limite. En effet, presque tous connus anneaux planétaires sont situés au sein de leur limite de Roche, Saturne E-Ring et Phoebe anneau étant des exceptions notables. Ils pourraient être soit des restes de la planète de la proto-planétaire disque d'accrétion qui a échoué à se fondre en lunes, ou inversement ont formé quand une lune passait à sa limite Roche et se est disloqué.

Il est également intéressant de considérer que la limite de Roche ne est pas le seul facteur qui provoque comètes se brisent. Fractionnement par le stress thermique, interne la pression du gaz et le fractionnement de rotation des moyens plus probables pour une comète pour diviser en situation de stress.

Détermination de la limite de Roche

La distance limite à laquelle un satellite peut approcher sans rupture dépend de la rigidité du satellite. À un extrême, un satellite sera complètement rigide maintenir sa forme jusqu'à ce que les forces de marée le briser. À l'autre extrême, un satellite très fluide déforme progressivement conduisant à une augmentation des forces de marée, provoquant le satellite se allonger, ce qui aggrave encore les forces de marée et la casser part plus facilement. La plupart des satellites réelles se situeraient quelque part entre ces deux extrêmes, avec résistance à la traction rendant le satellite ni parfaitement rigide ni parfaitement fluide. La limite de Roche est aussi généralement calculé pour le cas d'une orbite circulaire, mais il est facile de modifier le calcul de se appliquer à l'affaire (par exemple) d'un corps passant primaire sur une trajectoire parabolique ou hyperbolique.

Calcul rigide par satellite

La limite de Roche corps rigide est un calcul simplifié pour un satellite sphérique, où la déformation du corps par l'effet des marées est négligée. Le corps est supposé maintenir son sphérique forme tout en étant maintenus ensemble uniquement par sa propre auto-gravité. D'autres effets sont également négligées, telles que la déformation de marée de la primaire, la rotation et de l'orbite du satellite, et sa forme irrégulière. Ces hypothèses, bien que réaliste, simplifient grandement le calcul Roche-limite.

La limite de Roche pour un satellite sphérique rigide hors effets orbitales, est la distance, , Du primaire à laquelle la force gravitationnelle sur une masse de test sur la surface de l'objet est exactement égale à la force de marée tirant l'objet loin de l'objet:

où est le rayon du primaire, est la densité du primaire, et est la densité du satellite. Ceci peut se écrire sous la forme équivalente

où est le rayon du secondaire, est la masse du primaire, et est la masse du secondaire.

Notez que cela ne dépend pas de la taille de l'objet en orbite est, mais seulement sur le rapport des densités. Ce est la distance orbitale à l'intérieur duquel matériau en vrac (par exemple, regolith ou roches détachées) sur la surface du satellite le plus proche du primaire ne se arracher, et de même matériau sur le côté opposé au primaire sera également tiré loin de, plutôt que vers le satellite.

Si le satellite est plus de deux fois plus dense que le primaire, comme on peut facilement être le cas pour une lune rocheuse orbitant autour d'une géante gazeuse, la limite de Roche sera dans le primaire et donc pas pertinent.

Dérivation de la formule

Dérivation de la limite de Roche

Afin de déterminer la limite de Roche, nous considérons une petite masse sur la surface du satellite le plus proche du primaire. Il ya deux forces sur cette masse : La force d'attraction vers le satellite et la force d'attraction vers le primaire. Si l'on suppose que le satellite se trouve dans chute libre autour de la primaire et que la force de marée est la seule durée pertinente de l'attraction gravitationnelle de la primaire. Cette hypothèse est une simplification que la chute libre se applique uniquement vraiment le centre planétaire, mais suffira pour cette dérivation.

L'attraction gravitationnelle sur la masse vers le satellite avec la masse et le rayon peut être exprimée en fonction de La loi de la gravitation de Newton.

la force de marée sur la masse vers le primaire de rayon et la masse , À une distance entre les centres des deux organes, peut être exprimée approximativement comme

.

Pour obtenir cette approximation, pour la différence de l'attraction gravitationnelle du primaire sur le centre du satellite et sur le bord du satellite le plus proche du primaire:

Dans l'approximation où r < dans le numérateur et chaque terme avec dans le dénominateur tend vers zéro, ce qui nous donne:

La limite de Roche est atteint lorsque la force gravitationnelle et la force de marée se équilibrent.

ou

,

qui donne la limite de Roche, , Comme

.

Cependant, nous ne voulons pas vraiment le rayon du satellite apparaît dans l'expression de la limite, de sorte que nous ré-écrire ce en termes de densité.

Pour une sphère la masse peut se écrire

où est le rayon du primaire.

Et de même

où est le rayon du satellite.

En remplaçant les masses dans l'équation de la limite de Roche, et annulant donne

,

qui peut être simplifié à la limite de Roche:

.

Satellites fluides

Une approche plus précise pour le calcul de la limite de Roche prend la déformation du satellite en compte. Un exemple extrême serait une verrouillage gravitationnel satellite en orbite une planète liquide, où toute force agissant sur le satellite serait déformer dans une prolate sphéroïde.

Le calcul est complexe et son résultat ne peut pas être représenté dans une formule algébrique exacte. Roche se est dérivée la solution approximative suivante pour la limite de Roche:

Cependant, une meilleure approximation qui prend en compte l'aplatissement de la primaire et la masse du satellite est:

où est le aplatissement de la primaire. Le facteur numérique est calculée à l'aide d'un ordinateur.

La solution liquide est appropriée pour des corps qui ne sont que légèrement fixées, comme une comète. Par exemple, la comète Décomposition de l'orbite de Shoemaker-Levy 9 autour de Jupiter a adopté dans son limite de Roche en Juillet 1992, l'amenant à se fragmenter en plusieurs petits morceaux. Sur sa prochaine démarche en 1994, les fragments se sont écrasés sur la planète. Shoemaker-Levy 9 a été observé pour la première en 1993, mais son orbite a indiqué qu'il avait été capturé par Jupiter quelques décennies avant.

Dérivation de la formule

Comme le cas par satellite fluide est plus délicate que celle rigide, le satellite est décrite avec quelques hypothèses simplificatrices. Tout d'abord, assumer l'objet se compose de fluide incompressible qui a densité constante et le volume qui ne dépendent pas de forces externes ou internes.

Deuxièmement, assumer le satellite se déplace sur une orbite circulaire et il reste en rotation synchrone. Cela signifie que la vitesse angulaire au cours de laquelle il tourne autour de son centre de masse est la même que la vitesse angulaire à laquelle il se déplace autour de l'ensemble du système barycentre.

La vitesse angulaire est donnée par la troisième loi de Kepler :

Lorsque M est beaucoup plus grand que m, ce sera près de

La rotation synchrone signifie que le liquide ne se déplace pas et que le problème peut être considérée comme statique. Par conséquent, la viscosité et frottement du liquide dans ce modèle ne joue pas un rôle, puisque ces quantités joueraient un rôle que pour un fluide en mouvement.

Compte tenu de ces hypothèses, les forces suivantes doivent être prises en compte:

• La force de gravitation due au corps principal;
• la la force centrifuge dans le système de référence en rotation; et
• le champ auto-gravitation du satellite.

Comme toutes ces forces sont conservateurs, ils peuvent être exprimés à l'aide d'un potentiel. En outre, la surface du satellite est une une équipotentielle. Sinon, les différences de potentiel donneraient lieu à des forces et le mouvement de certaines parties du liquide à la surface, ce qui contredit l'hypothèse de modèle statique. Compte tenu de la distance entre le corps principal, notre problème est de déterminer la forme de la surface qui satisfait à la condition de potentiel.

Distance radiale d'un point sur la surface de l'ellipsoïde du centre de masse

Comme l'a supposé orbite circulaire, la force de gravitation totale et de la force centrifuge agissant sur le corps principal annuler. Par conséquent, la force qui affecte les particules du liquide est la force de marée, qui dépend de la position par rapport au centre de masse, déjà pris en compte dans le modèle rigide. Pour les petits corps, la distance entre les particules liquides du centre du corps est faible par rapport à la distance d au corps principal. Ainsi, la force de marée peut être linéarisé, ce qui entraîne dans la même formule pour F _T comme indiqué ci-dessus. Bien que cette force dans le modèle rigide ne dépend que du rayon r du satellite, dans le cas de fluide, nous devons tenir compte de tous les points de la surface et de la force des marées dépend de la distance Dd du centre de masse à une particule donnée projetée sur la ligne joignant le satellite et le corps principal. Nous appelons Dd la distance radiale. Étant donné que la force de marée est linéaire dans Dd, le potentiel lié est proportionnelle au carré de la variable et pour nous avons

On veut déterminer la forme du satellite pour lequel la somme du potentiel d'auto-gravitation et est constante sur la surface du corps. En général, un tel problème est très difficile à résoudre, mais dans ce cas particulier, il peut être résolu par une conjecture habile en raison de la dépendance carré du potentiel de marée sur la distance radiale Dd

Étant donné que le potentiel V _T change dans une seule direction, ce est à dire la direction vers le corps principal, le satellite peut se attendre à prendre une forme à symétrie axiale. Plus précisément, nous pouvons supposer que cela prend la forme d'un solide de révolution. L'auto-potentiel sur la surface d'un tel solide de révolution ne peut dépendre de la distance radiale au centre de masse. En effet, l'intersection du satellite et d'un plan perpendiculaire à la ligne joignant les corps est un disque dont le bord de nos hypothèses est un cercle de potentiel constant. Si la différence entre l'auto-gravitation potentiel et V _T être constante, les deux potentiels doivent dépendent de la même manière sur Dd. En d'autres termes, l'auto-potentiel doit être proportionnelle au carré de Dd. Ensuite, il peut être démontré que la solution équipotentielle est un ellipsoïde de révolution. Compte tenu de la densité et un volume constant d'auto-potentiel d'un tel corps ne dépend que de la excentricité ε de l'ellipsoïde:

où est l'auto-potentiel constant sur l'intersection du bord circulaire du corps et le plan médian de symétrie étant donné par l'équation Dd = 0.

La fonction f dimension est déterminée à partir de la solution exacte pour le potentiel de l'ellipsoïde

et, de façon assez surprenante, ne dépend pas sur le volume du satellite.

Le graphe de la fonction f sans dimension qui indique dans quelle mesure la force de la marée potentiel dépend de l'excentricité de l'ellipsoïde ε

Bien que la forme explicite de la fonction f semble compliqué, il est clair que nous pouvons et ne choisissons la valeur de ε de sorte que le potentiel V _T est égale à V _S plus une constante indépendante de la variable Dd. Par inspection, cela se produit lorsque

Cette équation peut être résolue numériquement. Le graphique indique qu'il existe deux solutions et donc la plus petite représente une forme d'équilibre stable (l'ellipsoïde avec la plus petite excentricité). Cette solution détermine l'excentricité de l'ellipsoïde des marées en fonction de la distance par rapport au corps principal. La dérivée de la fonction f a une excentricité zéro lorsque le maximum est atteint. Cela correspond à la limite de Roche.

La dérivée de f détermine l'excentricité maximale. Cela donne la limite de Roche.

Plus précisément, la limite de Roche est déterminée par le fait que la fonction f, qui peut être considérée comme une mesure non linéaire de la force de serrage de l'ellipsoïde vers une forme sphérique, est limitée de sorte qu'il existe une excentricité à laquelle cette force de contraction devient maximale . Depuis les marées force augmente lorsque le satellite se approche le corps principal, il est clair qu'il ya une distance critique à laquelle l'ellipsoïde est déchiré.

L'excentricité maximale peut être calculée numériquement en tant que zéro de la dérivée de f '. On obtient

qui correspond au rapport des axes de l'ellipsoïde 1: 1,95. Insertion ce dans la formule de la fonction f peut déterminer la distance minimale à laquelle l'ellipsoïde existe. Ce est la limite de Roche,

Roche limites pour exemples choisis

Le tableau ci-dessous montre la densité moyenne et le rayon équatorial pour les objets sélectionnés dans le système solaire .

Grâce à ces données, les limites Roche pour corps rigides et fluides peuvent être facilement calculés. La densité moyenne des comètes est prise égale à environ 500 kg / m³.

Le tableau ci-dessous donne les limites Roche exprimées en mètres et en rayons primaire. La vraie limite de Roche pour un satellite dépend de sa densité et la rigidité.

Si le primaire est inférieure à la moitié aussi dense que le satellite, la limite de Roche de corps rigide est inférieure à rayon de la primaire, et les deux corps peut entrer en collision avant la limite de Roche est atteint.

À quelle distance des lunes du système solaire à leurs limites Roche? Le tableau ci-dessous donne le rayon orbital de chaque satellite intérieure divisée par son propre rayon de Roche. Les deux calculs de corps rigide et fluidisé sont donnés. Note Pan, Métis et Naïade en particulier, qui peut être assez proche de leurs points morts-up réels.

Dans la pratique, les densités de la plupart des satellites des planètes géantes intérieures ne sont pas connus. Dans ces cas, en italique, les valeurs probables ont été pris, mais leur limite réelle Roche peuvent varier de la valeur indiquée.