Ciało algebraicznie domknięte

Z Wikipedii

Ciało algebraicznie domknięte $F$ to takie ciało, w którym każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego jednej zmiennej ma pierwiastek w $F$ .

Każde ciało jest podciałem pewnego ciała algebraicznie domkniętego. Za przykład niech posłuży ciało liczb rzeczywistych. Ciało to nie jest algebraicznie domknięte: wielomian $w (x) = x 2 + 1$ nie ma pierwiastków w tym ciele.

Najmniejszym algebraicznie domkniętym ciałem zawierającym ciało liczb rzeczywistych jest ciało liczb zespolonych (dla powyższego wielomianu pierwiastkami w ciele liczb zespolonych są $i$ oraz $- i$ ). Mówimy, że ciało liczb zespolonych jest domknięciem algebraicznym ciała liczb rzeczywistych.

Twierdzenie mówiące o tym, że ciało liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym nazywa się "zasadniczym twierdzeniem algebry" i pociąga za sobą istotne konsekwencje, jak chociażby fakt, że każdą macierz o współczynnikach zespolonych można sprowadzić do postaci Jordana.

Jedną z najważniejszych własności ciał algebraicznie domkniętych jest twierdzenie Hilberta o zerach:

Jeśli $F$ jest ciałem algebraicznie domkniętym, to dla każdych liczb naturalnych $n, m$ i dla dowolnych wielomianów $f_1 (X_1,X_2,\ldots,X_n),\ldots,f_m(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ o współczynnikach z ciała $F$ następujące warunki są równoważne:

układ równań $f_1 (X_1,X_2,\ldots,X_n)=0,\ldots,f_m(X_1,X_2,\ldots,X_n)=0$ ma rozwiązanie w $F$ ;

ideał $(f_1 (X_1,X_2,\ldots,X_n),\ldots,f_m(X_1,X_2,\ldots,X_n))$ jest ideałem właściwym pierścienia wielomianów $F[X_1,X_2,\ldots,X_n]$ .

Innymi słowy, taki układ równań nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy jest sprzeczny, tzn. gdy istnieją wielomiany $g_1 (X_1,X_2,\ldots,X_n),\ldots,g_m(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ o współczynnikach z ciała $F$ takie, że

$g_1\cdot f_1 + \cdots + g_m\cdot f_m = 1$ .

[edytuj] Domknięcie algebraiczne ciała $\mathbb Z_p$

Nie istnieją ciała skończone, algebraicznie domknięte. Oznacza to, że istnieją ciała nieskończone o skończonej charakterystyce. Przykładem takiego ciała może być algebraiczne domknięcie ciała $GF(3) = \mathbb Z_3 = \{0,1,2\}$ :

Dla każdego $k = 1,2,\ldots$ istnieje jedyne ciało $G F (3 k)$ o $3 k$ elementach. Na przykład, ciało $G F (3 2)$ można reprezentować jako $\mathbb Z_3(\sqrt 2) = \{0,1,2, \; \alpha,\, \alpha +1,\, \alpha + 2,\; 2\alpha,\, 2\alpha +1, \,2\alpha + 2\}$ , gdzie $α 2 = 2$ .

Dla każdego $m,n\in \mathbb N\setminus \{0\}$ , $GF(3^m) \subseteq GF(3^n)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m$ jest dzielnikiem liczby $n$ . Więc dla każdego $m, n$ można znaleźć skończone ciało $C$ zawierające $G F (3 m)$ i $G F (3 n)$ , np ciało $G F (3 m n)$ . Z tego możemy wywnioskować, że suma wszystkich ciał $G F (3 n)$ jest znowu ciałem, który oznaczamy $\mathbb {\overline Z}_3$ .

Każdy wielomian z współczynnikami w ciele $\overline \mathbb Z_3$ ma w rzeczywistości współczynniki w pewnym ciele skończonym $G F (3 n)$ , więc ma pierwiastek w pewnym skończonym rozszerzeniu ciała $G F (3 n)$ ; to rozszerzenie musi być ciałem skończonym o charakterystyce 3, tzn. pewnym ciało $GF(3^{n'}) \subseteq \mathbb {\overline Z}_3$ .

Więc ciało $\mathbb {\overline Z}_3$ (zbiór nieskończony ale przeliczalny) jest algebraicznie domknięte.

[edytuj] Domknięcie algebraiczne ciała liczb wymiernych

Domknięcie algebraiczne $\mathbb{\overline Q}$ ciała liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ nazywamy ciałem liczb algebraicznych. Jest ono (przeliczalnym) podciałem ciała liczb zespolonych; elementy ciała $\mathbb{\overline Q}$ nazywamy liczbami algebraicznymi; pozostałe liczby zespolone nazywamy liczbami przestępnymi. Georg Cantor udowodnił, że ciało $\mathbb{\overline Q}$ jest przeliczalne, a ciała $\mathbb{R}$ i $\mathbb{C}$ są nieprzeliczalne, dowodząc tym samym (po raz pierwszy) istnienia liczb przestępnych.