Wielomian

Z Wikipedii

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Wielomian – w matematyce wyrażenie zbudowane ze zmiennych i stałych połączonych przez działania dodawania i mnożenia.

[edytuj] Wielomiany rzeczywiste i zespolone

Przez użycie podstawowych własności działań - przemienności, łączności i rozdzielności - każdy wielomian można przedstawić w postaci sumy jednomianów, np.:

$3(x+5y \cdot 2-1)+x=3(x+5 \cdot 2y-1)+x=$

$3(x+10y-1)+x=3x+3 \cdot 10y-3+x=$

$(3+1)x+30y-3=4x+30y-3\,$ .

Współczynniki tych jednomianów nazywa się współczynnikami wielomianu. Jednomian nie zawierający zmiennych nazywa się wyrazem wolnym. W tym przykładzie współczynnikami wielomianu są $4,30, - 3$ ; wyrazem wolnym jest $- 3$ .

Wielomian będący sumą dwóch jednomianów nazywa się dwumianem, a trzech – trójmianem. Przykładowy wielomian jest trójmianem.

Wielomian nazywa się całkowitym, wymiernym, rzeczywistym lub zespolonym w zależności od zbioru, z którego pochodzą jego współczynniki.

Wielomianem zerowym nazywa się wielomian, którego wszystkie współczynniki są równe zeru.

[edytuj] Stopień wielomianu

Stopniem wielomianu nazywa się najwyższy ze stopni jego jednomianów. Wielomian $x 2 y - 11 x 3 y 4$ jest wielomianem stopnia siódmego. Stopień wielomianu $f$ oznacza się $\operatorname{deg}(f)$ . Wielomian zerowy nie ma określonego stopnia. Niekiedy przyjmuje się, że stopień wielomianu zerowego wynosi $-\infty$ .

Wielomianu zerowego nie należy mylić z wielomianem stopnia zerowego, czyli wielomianem postaci $c$ , gdzie $c \neq 0$ .

Wielomianem jednorodnym nazywa się wielomian składający się z jednomianów tego samego stopnia. Przykładem może być $3 x y + 7 y z - 4 z x$ .

[edytuj] Wielomiany jednej zmiennej

W szczególności, przez wykorzystanie własności działań, każdy wielomian jednej zmiennej można zapisać w postaci:

$a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_0$ ^[1]

a używając notacji sumowania:

$\sum_{i=0}^n a_{i} x^{i}$ ^[2]

W tym zapisie:

liczby $a_{n}, a_{n-1}, \dots, a_{0}$ są współczynnikami wielomianu;
liczba $a 0$ jest wyrazem wolnym;
jeżeli tylko $a_{n} \neq 0$ , stopniem wielomianu jest $n$ , a współczynnik $a n$ jest nazywany najstarszym współczynnikiem (lub współczynnikiem wiodącym).

Wielomian unormowany to taki wielomian, którego najstarszy współczynnik jest równy jedności.

[edytuj] Równość wielomianów

Dwa wielomiany uważamy za równe, gdy mają te same współczynniki przy odpowiadających sobie jednomianach.

[edytuj] Działania na wielomianach

Na wielomianach można wykonywać różne operacje, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, największy wspólny dzielnik, złożenie.

[edytuj] Dodawanie i mnożenie

Suma i iloczyn wielomianów jest wielomianem.

Dodawanie i mnożenie wielomianów zapisanych w postaci uporządkowanej można wykonywać w postaci analogicznej do dodawania i mnożenia liczb w pozycyjnym systemie liczbowym:

	$3 x^{6} \,$	$-2 x^{5} \,$	$+8 x^{4} \,$	$+8 x^{3} \,$	$-3 x^{2} \,$	$+7 x \,$	$+1 \,$
$+ \,$		$4 x^{5} \,$	$+ x^{4} \,$	$+9 x^{3} \,$	$-12 x^{2} \,$	$+6 x \,$	$-5 \,$
	$3 x^{6} \,$	$+2 x^{5} \,$	$+9 x^{4} \,$	$+17 x^{3} \,$	$-15 x^{2} \,$	$+13 x \,$	$-4 \,$

Mnożenie:

		$- 2 \, x^{3} \,$	$+ 5 \, x^{2} \,$	$+ 6 \, x \,$	$- 3 \,$
	$\times \,$		$+ 3 \, x^{2} \,$	$+ \, x \,$	$-4 \,$
		$8 \, x^{3} \,$	$-20 \, x^{2} \,$	$-24 \, x \,$	$+12 \,$
	$-2 \, x^{4} \,$	$+5 \, x^{3} \,$	$+6 \, x^{2} \,$	$-3 \, x \,$
$-6 \, x^{5} \,$	$+15 \, x^{4} \,$	$+18 \, x^{3} \,$	$-9 \, x^{2} \,$
$- 6 \, x^{5} \,$	$+ 13 \, x^{4} \,$	$+ 31 \, x^{3} \,$	$- 23 \, x^{2} \,$	$- 27 \, x \,$	$+ 12 \,$

Zachodzą zależności:

$\operatorname{deg}(f+g) \leqslant \max\{\operatorname{deg} f, \operatorname{deg} g\}$

$\operatorname{deg}(fg) = \operatorname{deg} f + \operatorname{deg} g$ ^[3]

[edytuj] Dzielenie

Iloraz dwóch wielomianów może nie być wielomianem; jeżeli jest, mówimy, że wielomian jest podzielny przez inny. Na przykład wielomian $x 2 - y 2$ jest podzielny przez $x + y$ ; ilorazem jest $x - y$ . Na ogół przy dzieleniu wielomianów pozostaje reszta, podobnie jak przy dzieleniu liczb całkowitych: w przypadku wielomianu jednej zmiennej dzieląc $f$ przez $g$ otrzymujemy iloraz $h$ i resztę $r$ :

f = g h + r

, gdzie $\operatorname{deg} r < \operatorname{deg} g$

Wielomiany $h$ i $r$ są wyznaczone jednoznacznie.

Funkcjami wymiernymi nazywa się ilorazy wielomianów, np.

${2x^3+8x-4 \over 4x^2-3x}$

Pełnią one podobną rolę dla wielomianów jak liczby wymierne dla liczb całkowitych. (Tą analogię można wyjaśnić w języku algebry abstrakcyjnej, patrz niżej.)

Największy wspólny dzielnik wielomianów to wielomian najwyższego stopnia, który jest dzielnikiem obu z nich. Można go znaleźć używając algorytmu Euklidesa. Jest wyznaczony z dokładnością do stałej.

[edytuj] Wartość wielomianu. Wielomian jako funkcja

Wartość wielomianu dla pewnej liczby (lub krotki w przypadku wielomianu wielu zmiennych) nazywa się liczbę, którą otrzymuje się po podstawieniu tej liczby do wielomianu.

Przyporządkując każdej liczbie odpowiadającą jej wartość wielomianu, otrzymujemy funkcję. W przypadku wielomianu jednej zmiennej:

$f(x)=a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$

To przedstawienie jest często brane za definicję wielomianu jednej zmiennej.

Przykładami mogą być:

funkcja stała – wielomian postaci $f (x) = c$ ;
funkcja liniowa – wielomian postaci $f (x) = a x + b$ ;
funkcja kwadratowa – wielomian postaci $f (x) = a x 2 + b x + c$ , gdzie $a \neq 0$ .

[edytuj] Złożenie wielomianów

Wielomiany, podobnie jak funkcje, można składać. Na przykład, złożeniem wielomianów $x - 1$ i $x 2 + 4 x$ jest $(x - 1) 2 + 4(x - 1)$ .

[edytuj] Pierwiastki i rozkład na czynniki

Jeżeli wartością wielomianu dla liczby $x$ (lub krotki $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ ) jest 0, to mówimy, że $x$ jest pierwiastkiem wielomianu. Innymi słowy, pierwiastki wielomianu to jego miejsca zerowe.

Aby znaleźć miejsca zerowe, należy rozwiązać równanie:

$a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 = 0$

Takie równanie nazywamy równaniem algebraicznym. Stopień tego równania to stopień wielomianu po jego lewej stronie. Zakładamy że $a_n \neq 0$ , tak więc stopniem równania jest $n$ . Dla liczb rzeczywistych można również rozpatrywać nierówności algebraiczne.

Istnieją wzory pozwalające rozwiązać każde równanie stopnia pierwszego, drugiego, trzeciego i czwartego. Dla $n \geq 5$ udowodniono, że efektywne znalezienie pierwiastków przez wykorzystanie podstawowych operacji arytmetycznych na ogół nie jest możliwe (twierdzenie Abela-Ruffiniego).

Zgodnie z twierdzeniem Bézout, liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $P (x)$ , wtedy i tylko wtedy gdy $P$ jest podzielny przez $x - a$ .

[edytuj] Pierwiastek wielokrotny

Pierwiastek wielokrotny wielomianu W(x) to taki pierwiastek a tego wielomianu, że wielomian W dzieli się bez reszty przez $(x - a) k$ , gdzie $k \geq 2$ . Największą liczbę k o tej własności nazywamy krotnością pierwiastka a.

Jeśli a jest pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu W, to a jest także pierwiastkiem pochodnej wielomianu W. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

[edytuj] Przykłady

Pierwiastkami wielomianu $W(x)=x^3+x^2-x-1=(x+1)(x^2-1)=(x+1)^2 (x-1),\$ są: $x_1 = x_2 = -1\$ (pierwiastek dwukrotny) i $x_3 = 1\$ .
Liczba 2 jest pierwiastkiem dwukrotnym (podwójnym) wielomianu $x 3 - 3 x 2 + 4$ , bo jest jego pierwiastkiem, wielomian ten dzieli się przez $(x - 2) 2$ , ale nie dzieli się już przez $(x - 2) 3$ .
Bezpośrednio z postaci wielomianu $x 2 (x - 1) 3 (x + 2) 4$ widać, że 0 jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu W, 1 jest pierwiastkiem potrójnym i –2 — poczwórnym.

[edytuj] Własności pierwiastków

Niektóre własności (pierwiastki wielokrotne należy liczyć kilka razy):

Wielomian stopnia $n$ ma^[4] co najwyżej $n$ pierwiastków.
Zasadnicze twierdzenie algebry: każdy wielomian zespolony stopnia $n$ ma pierwiastek zespolony. Z tego wynika, że każdy wielomian zespolony ma dokładnie $n$ pierwiastków zespolonych.
Pierwiastki zespolone (nierzeczywiste) wielomianu rzeczywistego występują jako pary liczb wzajemnie sprzężonych.
Wielomian rzeczywisty stopnia $n$ ma $n$ pierwiastków rzeczywistych lub o parzystą liczbę mniej; w szczególności, wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego zawsze ma pierwiastek rzeczywisty.
Twierdzenie Sturma pozwalające wyznaczyć liczbę pierwiastków wielomianu rzeczywistego w przedziale $(a, b)$ .
Twierdzenie Hurwitza pozwalające rozstrzygnąć, czy wszystkie pierwiastki wielomianu rzeczywistego leżą w lewej półpłaszczyźnie zespolonej.
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu całkowitego: jeżeli ułamek nieskracalny $\tfrac{p}{q} \in \mathbb Q$ jest pierwiastkiem wielomianu całkowitego to $p$ jest dzielnikiem wyrazu wolnego oraz $q$ jest dzielnikiem współczynnika wiodącego.
Wzory Viète'a łączące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami
Jeżeli wielomian ma pierwiastki wielokrotne, to dzieląc go przez $\operatorname{NWD}(f,f')$ otrzymujemy wielomian o tych samych pierwiastkach, lecz jednokrotnych.
Rugownik dwóch wielomianów jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy mają one wspólny pierwiastek.
Reguła Kartezjusza: liczba dodatnich pierwiastków wielomianu jest równa liczbie zmian znaku pomiędzy kolejnymi niezerowymi współczynnikami lub też mniejsza od niej o wielokrotność liczby 2. Zamieniając $x$ na $- x$ można oszacować liczbę ujemnych pierwiastków; przykład: wielomian

x 3 + x 2 - x - 1

ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni - zmiana znaku występuje przy przejściu od

a 2 = 1

a 1 = - 1

[edytuj] Rozkład na czynniki

Rozkład na czynniki wielomianu polega na przedstawieniu go w postaci iloczynu wielomianów niższego stopnia.

Każdy wielomian rzeczywisty można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 = a_n (x_1 - c_1) (x_2 - c_2) \dots (x_k - c_k) (x^2 + p_1 x + q_1) (x^2 + p_2 x + q_2) \dots (x^2 + p_l x + q_l)$ ,

gdzie $k + 2 l = n$ oraz dla każdego $i \in \{1,2,\dots,l\}$ zachodzi $p_i^2 < 4q_i$ .

Rozkład można przeprowadzić na kilka sposobów:

Przez wzory skróconego mnożenia
Znajdując pierwiastek i wykorzystując twierdzenie Bézout
Korzystając ze wzorów Kroneckera i wzoru Hermite'a (dla dowolnych wielomianów), wzory te uogólnił Klein.

[edytuj] Wykresy

Rozważmy wykres funkcji wielomianowej jednej zmiennej w prostokątnym układzie współrzędnych:

przecina on pionową oś w punkcie $(0, a 0)$ ,
wielomian zerowy i wielomian stopnia zerowego posiadają wykres będący prostą równoległą do poziomej osi,
wykresem wielomianu stopnia pierwszego jest prosta o współczynniku kierunkowym równym najstarszemu współczynnikowi wielomianu,
wykresem wielomianu stopnia drugiego jest parabola.
wykresem wielomianu stopnia drugiego lub wyższego jest krzywa ciągła, niebędąca prostą.
w miejscach, gdzie pierwiastek wielomianu jest parzystokrotny, krzywa jest styczna do poziomej osi, a tam gdzie pierwiastek jest nieparzystokrotny, krzywa przecina poziomą oś układu;

Wykresy wielomianów można badać używając metod analizy matematycznej (przecięcia z osiami, punkty przegięcia, wypukłość, zachowanie w nieskończoności itd.)

Przykłady:

Wielomian stopnia 2: f(x) = x² - x - 2 = (x+1)(x-2)	Wielomian stopnia 3: f(x) = x³/5 + 4x²/5 - 7x/5 - 2 = 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)
Wielomian stopnia 4: f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5	Wielomian stopnia 5: f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2

[edytuj] Analiza matematyczna

Wielomiany ze względu na swoje „porządne” własności (ciągłość, różniczkowalność) odgrywają ważną rolę w analizie matematycznej.

Pochodna oraz funkcja pierwotna wielomianu są wielomianami:

$\left( \sum^n_{k=0} a_k x^k\right)^' = \sum^n_{k=1} ka_kx^{k-1}$

$\int\!\left( \sum^n_{k=0} a_k x^k\right)\,dx= \sum^n_{k=0} {a_k x^{k+1} \over k+1} + C$

Wielomiany służą przybliżaniu (aproksymacji) funkcji. Do ważniejszych wyników w tej dziedzinie należą:

Twierdzenie Weierstrassa: każdą funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można z dowolną dokładnością przybliżać wielomianami.
Teoria szeregów potęgowych, które można traktować jako uogólnienie wielomianów. Wiele ważnych funkcji daje się rozwinąć w szereg potęgowy, co ułatwia badanie ich własności. Przykładowo funkcja $x \mapsto e^x$ ma rozwinięcie:

$e^x = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + \dots$

Rozwijanie funkcji w szereg jest szczególnie ważne w przypadku funkcji, które nie są elementarne (zobacz też: funkcje specjalne).

Układy wielomianów ortogonalnych takie jak wielomiany Czebyszewa i Legendre'a.

[edytuj] Interpolacja wielomianowa

Mając dany dowolny $n + 1$ -elementowy zbiór punktów $\{(x_0, y_0), (x_1,y_1), \dots, (x_n, y_n)\}$ w którym $x i$ są parami różne, istnieje wielomian stopnia co najwyżej $n$ którego wykres przechodzi przez te punkty. Zagadnienie znalezienia tego wielomianu nazywa się interpolacją wielomianową. Interpolacja może służyć do przybliżania funkcji wielomianami.

Do interpolowania można używać postaci Lagrange'a i postaci Newtona.

[edytuj] Algebra liniowa

W ujęciu algebry liniowej każdy wielomian jest kombinacją liniową funkcji potęgowych postaci $x \mapsto x^k$ , gdzie $k = 0, 1, 2, \dots$ . Zbiór wielomianów jest podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich funkcji określonych na $\mathbb R$ lub $\mathbb C$ . Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa mówi, że przestrzeń wielomianów jest zbiorem gęstym w przestrzeni Banacha $C\left([a, b]\right)$ z normą supremum.

Ważnym obiektem związanym z macierzą jest jej wielomian charakterystyczny.

[edytuj] Algorytmy

Naiwny algorytm obliczenia wartości wielomianu w punkcie wymaga $1 + 2 + \dots + n = \Theta(n^2)$ mnożeń (zob. asymptotyczne tempo wzrostu). Zapisując wielomian w postaci:

$a_0 + x (a_1 + x (\dots x (a_{n-1} + a_n x)\dots))$

potrzebny czas skraca się do $Θ(n)$ . Powyższy sposób obliczania, nazywany schematem Hornera, może służyć również do szybkiego dzielenia wielomianu przez dwumian $x - a$ , np. po znalezieniu pierwiastka równania, można dzięki temu szybko obniżyć jego stopień.

Naiwny algorytm mnożenia dwóch wielomianów stopnia $n$ wymaga czasu $Θ(n 2)$ . Za pomocą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) czas ten można zmniejszyć do $Θ(n log n)$ . Mówiąc w uproszczeniu, algorytm mnożenia wpierw przedstawia czynniki za pomocą listy ich wartości w zespolonych pierwiastkach z 1 (ewaluacja), dokonuje mnożenia i powraca do pierwotnej postaci (interpolacja).

[edytuj] Wielomiany w dowolnych pierścieniach

Pojęcie wielomianu określone dla liczb rzeczywistych (zespolonych) uogólnia się na dowolne pierścienie.

Załóżmy że $P$ jest pierścieniem.

Wielomianem jednej zmiennej nazywa się wyrażenie postaci:

(1) $a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_0$

gdzie $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n} \in P$ nazywa się współczynnikami wielomianu. Działania na tych wyrażeniach wykonuje się formalnie tak jak na zwykłych wyrażeniach algebraicznych:

$(a_{n} x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_{0}) + (b_{n} x^{n} + b_{n-1} x^{n-1} + \dots + b_{0}) = (a_{n} + b_{n}) x^n + (a_{n-1} + b_{n-1}) x^{n-1} + \dots + (a_{0} + b_{0})$

$(a_{n} x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_{0}) \cdot (b_{n} x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \dots + b_{0}) = a_{n} b_{n} x^{2n} + (a_{n} b_{n-1} + a_{n-1} b_{n}) x^{2n-1} + \dots + a_0 b_0$

(można bez straty ogólności założyć, że oba wielomiany są zapisane aż do potęgi $x n$ , dopisując 0 w miejscach gdzie odpowiedni współczynnik nie występuje)

Oznacza to, że wielomiany dodaje się dodając współczynniki, przy mnożeniu operacja ta jest zwana splotem.

Aby uniknąć wyrażeń postaci (1) można równoważnie zdefiniować wielomian jako nieskończony ciąg elementów pierścienia $(a_{0}, a_{1}, \dots)$ w którym istnieje tylko skończona liczba wyrazów niezerowych. Po podstawieniu $x=(0, 1, 0, 0, 0, \dots)$ każdy wielomian daje się przestawić w postaci (1).

Można udowodnić, że zbiór wielomianów jednej zmiennej nad pierścieniem $P$ z tak określonymi działaniami tworzy pierścień zwany pierścieniem wielomianów. Oznacza się go $P [x]$ . Elementem neutralnym dodawania jest $(0, 0, 0, \dots)$ .

Dla tak określonych wielomianów w analogiczny sposób jak dla wielomianów rzeczywistych definiuje się wyraz wolny, współczynnik wiodący i stopień wielomianu.

Własności pierścienia $P [x]$ :

pierścień $P$ można zanurzyć w pierścieniu $P [x]$ przyporządkując każdemu elementowi $a_0 \in P$ wielomian $(a_0, 0, 0, \dots)$ ;
jeżeli $P$ jest przemienny, to $P [x]$ również;
jeżeli $P$ jest pierścieniem z jedynką, to $P [x]$ również ją posiada - jest to wtedy wielomian $(1, 0, 0, \dots)$ ;
jeżeli $P$ nie zawiera dzielników zera, to $P [x]$ również;
jeżeli $P$ jest pierścieniem całkowitym, to $P [x]$ również;
jeżeli $P$ jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, to $P [x]$ również (twierdzenie Gaussa);
jeżeli $P$ jest pierścieniem noetherowskim, to $P [x]$ również (twierdzenie Hilberta o bazie);
jeżeli $P$ jest ciałem, to $P [x]$ jest pierścieniem euklidesowym;
pierścień $P [x]$ nie może nigdy być ciałem, gdyż element $(0,1,0,0,\dots)$ nie ma elementu odwrotnego.

Wartością wielomianu (1) dla $x = c$ nazywa się sumę $a_{n} c^{n} + a_{n-1} c^{n-1} + \dots + a_{2} c^{2} + a_{1} c_{1} + a_{0}$ .

[edytuj] Funkcja wielomianowa

Funkcją wielomianową nazywa się funkcję $f:P \to P$ , przyporządkującą każdemu elementowi pierścienia $P$ wartość wielomianu dla argumentu. Innymi słowy, funkcja wielomianowa dana jest wzorem

$f(x)=a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$

W analizie matematycznej pojęcia wielomianu i funkcji wielomianowej są używane zamiennie; jednak na ogół nie można dokonywać takiego utożsamienia. Różnym wielomianom mogą odpowiadać te same funkcje, np. w pierścieniu pierścieniu Z₂ funkcje $x 2$ i $x$ są identyczne, gdyż $02 = 0,1 2 = 1$ . W pierścieniu nieskończonym bez dzielników zera każda funkcja wielomianowa wyznacza jednoznacznie wielomian.

[edytuj] Pochodna wielomianu

Pochodną wielomianu określa się wzorem

$\left( \sum^n_{k=0} a_k x^k\right)' = \sum^n_{k=1} ka_kx^{k-1}$

W szczególności pochodną wielomianu stałego jest wielomian zerowy.

Definicja ta nie zależy od analitycznych własności pierścienia $P$ , tj. różniczkowanie wielomianów może być określone np. w pierścieniu Z modulo n gdzie nie ma sensu branie granicy. Tak określona pochodna ma następujące własności:

(f + g)' = f' + g'

(f g)' = f' g + f g'

Za pomocą indukcji matematycznej można określić $k$ -tą pochodną wielomianu:

f (0) = f

f (k) = (f (k - 1))'

[edytuj] Uogólnienia

Określone powyżej pojęcie wielomianu można uogólnić:

na funkcje wymierne - ciało ułamków pierścienia całkowitego $P [x]$ oznacza się przez $P (x)$ i nazywa ciałem funkcji wymiernych;
na większą liczbę zmiennych;
usuwając założenie o skończoności liczby wyrazów; tak określony pierścień nazywa się pierścieniem szeregów formalnych, oznaczany jest $P [[x]]$ .

[edytuj] Wielomiany wielu zmiennych

Pierścień wielomianów $P [x 1][x 2]$ nad pierścieniem wielomianów $P [x 1]$ nad pierścieniem $P$ nazywamy pierścieniem wielomianów zmiennych $x 1, x 2$ nad pierścieniem $P$ . Używając indukcji matematycznej można określić pierścień wielomianów $n$ zmiennych^[5] wzorem

$P[x_1, x_2, \dots x_n] = P[x_1, x_2, \dots, x_{n-1}][x_n]$ .

Dokonując formalnego przemnożenia, wielomian dwóch zmiennych można zapisać w postaci $\sum_{i,j=0}^n a_{ij} x^i y^j$ , a ogólniej, każdy wielomian $n$ zmiennych w postaci $\sum_{(k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) \in A} {a_{k_{1} k_{2} \dots k_{n}} \prod_{i=1}^n x_i^{k_{i}}}$ , gdzie $A \sub \mathbb{N}_0^n$ jest zbiorem skończonym.

[edytuj] Wielomiany symetryczne

Mając dany wielomian $f \in P[x_1, x_2, \dots, x_{n}]$ można dokonać na nim permutacji zmiennych $\pi=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ a_1 & a_2 & \ldots & a_n \end{pmatrix}\in S_n$ ( $S n$ oznacza grupę symetryczną) otrzymując nowy wielomian:

$g(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})=f(x_{a_{1}}, x_{a_{2}}, \dots, x_{a_{n}})$

Jeżeli wielomian nie zmienia się po tej operacji, to nazywa się go niezmienniczym względem permutacji $p$ lub też mówi się, że permutacja nie zmienia wielomianu $f$ . Przykład: wielomian $x + y - z$ nie zmienia się po po zamianie zmiennych $x$ i $y$ .

Można udowodnić, że zbiór wszystkich permutacji nie zmieniających wielomianu wraz z działaniem składania permutacji tworzy grupę, zwaną grupą symetrii wielomianu.

Wielomianem symetrycznym nazywa się wielomian, który nie zmienia się po dowolnej permutacji zmiennych; innymi słowy, jest to wielomian którego grupa symetrii jest równa $S n$ . Przykładem mogą być wielomiany

$x_1^2+x_2^2+x_3^2$

x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4

Wielomianami symetrycznymi podstawowymi $n$ zmiennych nazywa się wielomiany

$p_1 = x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n$

$p_2 = x_1 x_2 + x_1 x_3 + \dots + x_{n-1} x_n$

$\dots$

$p_n = x_1 x_2 \dots x_n$

Zgodnie z zasadniczym twierdzeniem o wielomianach symetrycznych, każdy wielomian symetryczny $n$ zmiennych można przedstawić w postaci złożenia wielomianu i wielomianów symetrycznych podstawowych, tj. dla każdego wielomianu symetrycznego $f$ istnieje taki wielomian $g$ , że:

$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=g(p_1, p_2, \dots, p_n)$

Takie przyporządkowanie jest izomorfizmem pierścienia wielomianów na pierścień wielomianów symetrycznych.

[edytuj] Teoria podzielności

Wielomian $f \in P[x]$ nazywa się wielomianem nierozkładalnym w $P [x]$ gdy nie można przedstawić go w postaci iloczynu wielomianów dodatniego stopnia.

Kryterium Eisensteina pozwala udowodnić nierozkładalność wielomianu o współczynnikach z pierścienia z jednoznacznością rozkładu.

Przypisy

↑ Czasami współczynniki są numerowane odwrotnie: $a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} + \dots + a_{n-1} x + a_{n}$ . Przy takich oznaczeniach należy we wzorach zamienić $a i$ na $a n - i$ .
↑ Przy tym zapisie zakłada się, że $x 0 = 1$ nawet dla $x = 0$ (więcej informacji)
↑ Ta równość w pierścieniu z dzielnikami zera staje się nierównością.
↑ w pierścieniu całkowitym
↑ Możliwe jest także zdefiniowanie pierścienia wielomianów nieskończonej liczbie zmiennych.

[edytuj] Bibliografia

Zdzisław Opial: Algebra wyższa. PWN, 1974.
Wielomiany i FFT. W: Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein: Wprowadzenie do algorytmów. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2005. ISBN 83-204-3149-2.

[edytuj] Zobacz też

Zobacz galerię na Wikimedia Commons:
Wielomian

Zobacz podręcznik na Wikibooks:
Wielomiany

Kategoria: Wielomiany

We provide Linux to the World