Ciało skończone

Z Wikipedii

Ciało skończone, ciało Galois to ciało o skończonej liczbie elementów.

Ciała skończone o tej samej liczbie elementów są izomorficzne. Ciała o $p n$ elementach (gdzie $p$ to liczba pierwsza) oznaczamy przez $G F (p n)$ lub $F_{p^n}$ . Notacja $G F$ pochodzi od ang. Galois field – ciało Galois, nazwane tak na cześć Évariste'a Galois, matematyka francuskiego, który przyczynił się do znacznego rozwoju badań ciał skończonych i związanych z nimi teorii.

[edytuj] Własności

Charakterystyka ciała skończonego jest zawsze liczbą pierwszą, zatem każde ciało o charakterystyce $p > 0$ zawiera w sobie jako podciało ciało F_p. Co więcej: istnieją wyłącznie ciała skończone o liczbie elementów będącej liczbą pierwszą lub dowolną potęgą liczby pierwszej. Konkretnie ciało mające $p n$ elementów jest ciałem rozkładu wielomianu $X^{p^n}-X$ nad ciałem $F p$ .

Dlatego też skoro ciało $F$ ma charakterystykę $p$ , to zbiór

K = {0,1,2,..., p - 1}

z określonymi naturalnie działaniami jest podciałem ciała $F$ , zaś $F$ jest przestrzenią liniową nad $K$ . Jeśli wymiar $\dim F = n$ , to $F$ musi mieć $p n$ elementów.

Jeżeli $F$ jest ciałem charakterystyki $p$ , to zachodzi

$\forall_{a,b \in F}\; (a+b)^p = a^p + b^p$ .

Potoczna, żartobliwa nazwa tego wzoru to marzenie licealisty.

Jeśli p jest liczbą pierwszą, to ciało mające $p n$ elementów ma po jednym podciele $p d$ -elementowym dla każdego dzielnika d liczby n.

J. Wedderburn udowodnił, że skończony pierścień z dzieleniem jest ciałem. Zatem przemienność mnożenia wynika z pozostałych aksjomatów i skończoności.

[edytuj] Przykład

1. Najprostszym ciałem skończonym jest zbiór dwuelementowy - ${0,1}$ z działaniami dodawania i mnożenia określonymi następująco:

 + | 0 1        · | 0 1
 --+----        --+----
 0 | 0 1        0 | 0 0
 1 | 1 0        1 | 0 1

Oznaczamy to ciało przez $F 2$ . Charakterystyka tego ciała wynosi dwa.

2. Ciałem skończonym o czterech elementach $F 4$ jest zbiór ${0,1, A, B}$ z działaniami określonymi następująco:

 + | 0 1 A B       · | 0 1 A B
 --+--------       --+--------
 0 | 0 1 A B       0 | 0 0 0 0
 1 | 1 0 B A       1 | 0 1 A B
 A | A B 0 1       A | 0 A B 1
 B | B A 1 0       B | 0 B 1 A

Warto zauważyć, że elementy $A$ i $B$ są pierwiastkami wielomianu $t^2+t+1=\frac{t^4-t}{t(t-1)}$ o współczynnikach z podciała $F 2 = {0,1}$ .

Każde ciało czteroelementowe jest izomorficzne z $F 4$ .

3. Pierścień $\mathbb{Z}_4=\{0,1,2,3\}$ z działaniami dodawania i mnożenia modulo 4 nie jest ciałem, bo $2\cdot 2=0$ , więc 2 nie ma elementu odwrotnego.