Dzielenie przez zero

Z Wikipedii

W matematyce dzielenie jest nazywane dzieleniem przez zero, jeśli dzielnik (liczba przez którą się dzieli) jest równy zero. Jest ono niewykonalne. Bywa ono źródłem błędów przy rozwiązywaniu zadań.

Spis treści

1 Dlaczego nie można dzielić przez zero
- 1.1 Proste wytłumaczenie dla dzielenia liczb
- 1.2 Interpretacja algebraiczna
2 Zobacz też

[edytuj] Dlaczego nie można dzielić przez zero

[edytuj] Proste wytłumaczenie dla dzielenia liczb

Oczywiście można by zdefiniować działanie, które dla dowolnych liczb a i b:

dla $b\ne 0$ przyjmowałoby wartości takie jak zwykłe dzielenie,
dla $b=0\;$ przyjmowałoby np. zawsze wartość 0, lub jakąś inną, z góry ustaloną.

Od dzielenia oczekujemy jednak, że będzie działaniem odwrotnym do mnożenia, a więc żeby nasze działanie można było nazwać dzieleniem, dla dowolnych liczb a i b, które dają się podzielić, powinno zachodzić:

$b\cdot\frac{a}{b}=a$

W przypadku dzielenia przez zero równanie to przyjęłoby postać:

$0\cdot\frac{a}{0}=a$

Jednak dowolna liczba pomnożona przez zero daje zawsze zero, więc jeśli tylko $a\ne 0$ , to nie da się przyjąć takiej wartości $\frac{a}{0}$ , dla której to równanie byłoby prawdziwe (jest to wtedy równanie sprzeczne). Z kolei dla $a=0\;$ każda wartość podstawiona w miejsce $\frac{a}{0}$ spełniałaby to równanie (jest to wtedy równanie tożsamościowe). Jak więc widać nie da się jednoznacznie określić dzielenia tak, aby wykonalne było dzielenie przez zero i jednocześnie dzielenie było działaniem odwrotnym do mnożenia.

[edytuj] Interpretacja algebraiczna

W algebrze definiowana jest struktura algebraiczna zwana ciałem. Ciałami są m.in. liczby wymierne, rzeczywiste, czy zespolone. W definicji ciała zawarty jest warunek istnienia elementu odwrotnego dla każdego elementu należącego do grupy multiplikatywnej (czyli związanej z mnożeniem). Jednak element neutralny grupy addytywnej (czyli zero) nie należy do grupy multiplikatywnej i nie istnieje taka liczba $a = b - 1$ , że $a \cdot b = 1$ .

Ponieważ według konwencji zapisu ilorazu mamy

${x \over y} = x \cdot {1 \over y} = x \cdot y^{-1}$ ,

to z definicji ciała nie może istnieć element $y - 1$ dla $y = 0$ .

Nie istnieje więc również iloczyn $x \cdot y^{-1}$ , gdyż wtedy dla każdego $x$ z ciała byłoby $x \cdot 0 = 1$ , zaś z aksjomatów ciała wynika, że $x \cdot 0 = 0$ , a jak już wspomniano, element neutralny grupy addytywnej nie należy do grupy multiplikatywnej ciała. Oczywiste jest także, iż $0 \over 0$ również jest nieokreślone z tego samego powodu.