Element algebraiczny
Z Wikipedii
Element algebraiczny - uogólnienie pojęcia liczby algebraicznej na rozszerzenia dowolnych ciał. Liczby algebraiczne to elementy algebraiczne ciała liczb zespolonych nad ciałem liczb wymiernych.
[edytuj] Definicja
Niech K będzie podciałem ciała L. Element 
nazywamy elementem algebraicznym nad K wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy wielomian o współczynnikach z ciała K, którego pierwiastkiem jest a.
Element nie będący algebraicznym nad K nazywamy elementem przestępnym nad K w ciele L.
[edytuj] Własności
- Zbiór wszystkich elementów ciała L algebraicznych nad K tworzy ciało, zwane rozszerzeniem algebraicznym ciała K.
- Jeśli jest elementem algebraicznym nad K, to
![K(a)=K[a]=\{f(a)\in L\colon\, f\in L[x]\}](../../../../math/a/b/b/abbe02c4786221447423a94f22e08b2b.png)
(por. oznaczenia w artykule rozszerzenia ciał)
- Dla każdego elementu algebraicznego nad K istnieje dokładnie jeden unormowany wielomian pierwszy pa o współczynnikach z ciała K (tj. element pierwszy w pierścieniu K[x]), którego pierwiastkiem jest a. Wielomian pa nazywamy wielomianem minimalnym elementu algebraicznego a. Zachodzi [F(a):F] = degpa. Stopień ten nazywamy stopniem elementu algebraicznego a.
[edytuj] Bibliografia
- Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987.
- Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: PWN, 1975.
