Funkcja Weierstrassa
Z Wikipedii
Funkcja Weierstrassa - pierwszy opublikowany[1] przykład rzeczywistej[2] funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstraßa.
Spis treści |
[edytuj] Tło historyczne
Wielu matematyków przełomu XVIII i XIX wieku uważało, iż wszystkie funkcje ciągłe są różniczkowalne w znaczącym podzbiorze swojej dziedziny. Francuski fizyk, André Marie Ampère, starał się nawet uzasadnić to przekonanie[3]. Sam Weierstraß przyznał, że słyszał od uczniów Riemanna, że ich nauczyciel sugerował istnienie kontrprzykładu na to przekonanie.
Prawdopodobnie, w roku 1830, Bernard Bolzano podał przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie dziedziny, lecz swojego wyniku nie opublikował. W 1860 roku, szwajcarski matematyk, Charles Cellérier podał przykład zbliżony do pomysłu Weierstraßa.
[edytuj] Konstrukcja funkcji Weierstrassa
W oryginalnej publikacji, funkcja Weierstraßa zdefiniowana jest jako
,
gdzie a jest pewną liczbą z przedziału (0,1) natomiast b jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek 
.
[edytuj] Wykres funkcji Weierstrassa
Gdy ab > 1, to wykres funkcji Weierstrassa jest fraktalem oraz jego wymiar Minkowskiego wynosi
.
Istnieje nierozwiązana hipoteza mówiąca, że (pod założeniem ab > 1) wymiar Hausdorffa wykresu funkcji Weierstrassa jest równy jego wymiarowi Minkowskiego.
Przypisy
- ↑ Paul Du Bois-Reymond, Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen, J. Reine Angew. Math. 79 (1875), 21–37
- ↑ Prostym przykładem zespolonej funkcji ciągłej nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie dziedziny jest funkcja "sprzężenie", tj.
- ↑ André Marie Ampère, Recherches sur quelques points de la th´eorie des fonctions d´eriv´ees qui condusent `a une nouvelle d´emonstration de la s´erie de Taylor, et `a l’expression finie des termes qu’on n´eglige lorsqu’on arrˆete cette s´erie `a un terme quelconque, J. Ècole Polytech. 6 (1806), No. 13, 148–181.
[edytuj] Źródła
- O wymiarze wykresu funkcji nigdzie nieróżniczkowalnej. Wiadomości Matematyczne. T. Szarek. Tom 42 (2006). Poznań : Polskie Towarzystwo Matematyczne, 2006. [1]
