Wymiar Hausdorffa
Z Wikipedii
Wymiar Hausdorffa – cecha numeryczna zbioru w przestrzeni metrycznej; nazwa tego wymiaru honoruje Feliksa Hausdorffa, który ten wymiar zdefiniował.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech s > 0. Niech będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru określamy miarę zewnętrzną
- ,
gdzie infimum bierzemy po rodzinach zbiorów , które pokrywają i zawierają zbiory o średnicy mniejszej lub równej .
Gdy maleje, to rośnie. Zatem poniższa granica (skończona lub nie) istnieje i jest nazywana miarą Hausdorffa (dla wykładnika s):
- .
Łatwo sprawdzić, że:
- dla każdego ;
- dla każdego .
Wymiar Hausdorffa określa się wówczas jako
- .
[edytuj] Wymiar Hausdorffa a wymiar topologiczny
Wymiar Hausdorffa metrycznej przestrzeni ośrodkowej jest zawsze niemniejszy od jej wymiaru topologicznego. Edward Marczewski (1937) [1] udowodnił, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna dopuszcza metrykę indukującą jej topologię, i taką, że wymiar Hausdorffa przy tej metryce jest równy wymiarowi topologicznemu.
Podobne twierdzenie, ale tylko dla przestrzeni metrycznych, zwartych, dowiedli wspólnie Lew Pontriagin i Lew Sznirelman (1932) [2], w terminach nie miary Hausdorffa, lecz logarytmu minimalnych liczności ε-pokryć, podzielonego przez log(ε).
Wynik Marczewskiego (oraz Eilenberga) przedstawiony jest w klasycznej monografii Witold Hurewicza i Henry Wallmana [3]; patrz też rosyjskie tłumaczenie [4], gdzie znajduje się dodatek ze wspomnianą pracą Pontriagina-Sznirelmana.
[edytuj] Praktyczna metoda liczenia
W większości zbiorów fraktalnych w przestrzeni metrycznej np. takich jak Kostka Mengera policzenie wymiaru Haussdorfa sprowadza sie do zbadania zbieżności szeregu geometrycznego z zsumowanych miar jego zmniejszanych elementów z potęgą wymiaru z każdej rekurencji tzn. kiedy suma ta staje się nieskończona. Suma ta jest szczególnym wyborem z rodziny zbiorów z definicji . Wymiar Haussdorfa jest równy nawiększej wartości potęgi dla której powstały ciąg geometryczny oraz szereg stają się rozbieżne.
Przykład: dywan Sierpińskiego:
W każdej rekurencji usuwa się 8n kwadratów o boku 1 / 3n. Suma szeregu jest wtedy dana przez
co jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie
Ciąg ten i suma stają się rozbieżne gdy q = 1 tzn. wymiar Haussdorfa dywanu Sierpińskiego wynosi
Dla kostki Mengera będzie to więc log(20) / log(3), dla piramidy Sierpińskiego log(4) / log(2), a dla zbioru Cantora log(2) / log(3).