Funkcja jednostajnie ciągła
Z Wikipedii
Jednostajna ciągłość jest własnością pewnej klasy funkcji, określonych między przestrzeniami metrycznymi.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech 
będą przestrzeniami metrycznymi. Mówimy, że 
jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko, gdy
![\left[ \varrho(x,y) < \delta \Rightarrow \sigma(f(x),f(y))<\varepsilon \right]](../../../../math/2/6/d/26d5ddfe867524645f6f32e467f421f4.png)
[edytuj] Wnioski i twierdzenia dotyczące funkcji jednostajnie ciągłych
- Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła.
- Jeśli
jest ciągiem Cauchy'ego elementów X oraz f jest jednostajnie ciągła, to ciąg 
jest również ciągiem Cauchy'ego. - Jeśli funkcja spełnia warunek Lipschitza, to jest jednostajnie ciągła.
- Twierdzenie Heinego–Cantora: Każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła.
- W szczególności, każda funkcja określona i ciągła na przedziale domkniętym [a,b] jest jednostajnie ciągła - na przedziale otwartym już tak nie musi być, na przykład funkcja
na przedziale 
jest ciągła, ale nie jest jednostajnie ciągła. Jeśli jednak granice funkcji na otwartych końcach przedziału istnieją, to na takim przedziale funkcja również będzie jednostajnie ciągła.
[edytuj] Uogólnienie na przestrzenie liniowo-topologiczne
Niech U,V będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówimy, że odzworowanie 
jest jednostajnie ciągłe, jeśli dla każdego otoczenia B zera przestrzeni V istnieje otoczenie A zera przestrzeni U takie, że
